Gleichgewichte bei Differentialgleichungen

27.08.2012, 01:45

ANDREvolution

Gleichgewichte bei Differentialgleichungen

Meine Frage:
Was genau kann ich unter einem Gleichgewicht im Kontext von Differentialgleichungen verstehen.

Wie man sie bestimmt ist mir klar.

Was ist so besonders an diesen Punkten.

Gleichgewichte sind vor allem deswegen interessant, weil sie Aufschluss uber das Langzeitverhalten der Losungen geben können. (was bedeutet das genau?)

Meine Ideen:

Ein Gleichgewicht ist ja gegeben wenn

$\begin{eqnarray*} f(x1) = 0 \end{eqnarray*}$

gilt.

Man unterscheidet:

anziehende Gleichgewichte wenn $\begin{eqnarray*} f'(x1) < 0 \end{eqnarray*}$

und

abstoßende Gleichgewichte wenn $\begin{eqnarray*} f'(x1) > 0 \end{eqnarray*}$

27.08.2012, 10:47

system-agent

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RE: Gleichgewichte bei Differentialgleichungen

Zitat:

Original von ANDREvolution
Was genau kann ich unter einem Gleichgewicht im Kontext von Differentialgleichungen verstehen.

Angenommen du betrachtest die Differentialgleichung derart, dass die Anfangsbedingung $\begin{eqnarray*} y(x_0) \end{eqnarray*}$ gerade in einem Gleichgewichtspunkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ vorgegeben wird. Dann ist die exakte Lösung konstant $\begin{eqnarray*} y(x)=y(x_0) \end{eqnarray*}$ , eben im Gleichgewicht.

Zitat:

Original von ANDREvolution
Was ist so besonders an diesen Punkten.

Das sind die Punkte, an denen die exakte Lösung überhaupt etwas interessantes tun kann.
Falls du einen Punkt hast der kein Gleichgewichtspunkt ist und du betrachtest eine autonome Differentialgleichung, dann kann man zeigen, dass es eine Umgebung dieses Punktes und Koordinaten gibt derart, dass $\begin{eqnarray*} f(x_1,...,x_n)=e_1 \end{eqnarray*}$ gilt [mit $\begin{eqnarray*} e_1 \end{eqnarray*}$ der erste Basisvektor]. Das heisst die exakte Lösung ist dort qualitativ bekannt.
Das ist der Grund wieso zum Beispiel Attraktorpunkte immer bei Nullstellen der rechten Seite zu finden sind, eben bei Gleichgewichtspunkten.

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