Partielle Ableitung mit Quotientenregel

27.08.2012, 10:04

Horizon77

Partielle Ableitung mit Quotientenregel

Guten Morgen,

ich drehe gerade im Rahmen an einer Prüfungsvorbereitung am Rad und hoffe, Ihr kommt mir helfen.

Wir müssen folgende Funktion partiell nach x und y ableiten:

$\begin{eqnarray*} \frac{x * y}{x + y} \end{eqnarray*}$

Ich weiß, dass ich wenn ich partiell nach x ableite, betrachte ichy als konstant und ich kenne die Quotientenregel f = $\begin{eqnarray*} \frac{z}{n} \end{eqnarray*}$ dann f' = $\begin{eqnarray*} \frac{z' * n - n' * z}{n^{2} } \end{eqnarray*}$

Aufgrund dessen ist dies mein Lösungsansatz:

$\begin{eqnarray*} \frac{1 * y (x+y) - (x * y) 1}{(x+y)^{2} } \end{eqnarray*}$

Habe zuerst
x * y nach x abgeleitet, das müsste = 1 * y sein
dann den Nenner so gelassen und hintendran

dann minus

x +y nach x abgeleitet, das müsste 1 ein,
den Zähler so gelassen und hintendran

dann den Nenner mit 2 potenziert

Wenn ich das alles ausmultipliziere komm ich auf sehr wildes, was sich nicht mit der angeblichen Lösung deckt.

Wäre super nett, wenn Ihr mal über meine ABleitung schauen könntet, ob und wo ich was falsch gemacht habe....

Vielen lieben Dank im voraus

27.08.2012, 10:41

DP1996

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Dein Lösungsansatz stimmt. Übrigens kannst du die *1 getrost weglassen.

Was gibt denn die "angebliche Lösung" als Lösung an?

27.08.2012, 10:57

Horizon77

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Zitat:

Original von DP1996
Dein Lösungsansatz stimmt. Übrigens kannst du die *1 getrost weglassen.

Was gibt denn die "angebliche Lösung" als Lösung an?

Ich hänge das mal an, weil ich nicht weiß, wie ich es mit latex eingeben soll.
Vielleicht kannst Du das mal anschauen.
Da sind x und y durch v1 und v2 getauscht (hatte es nur der Einfachheit halber unbenannt).

Schonmal tausend Dank für die schnelle Antwort.

Und noch etwas:
Wenn ich das, was ich da haben ausmultipliziere, dann komme ich auf

$\begin{eqnarray*} \frac{yx + y^{2}- xy }{(x+y)^{2} } \end{eqnarray*}$

Ich erkenne zwar unten die binomische Formel, aber kann man das irgendwie sinnvoll vereinfachen? Ich muss das hinterher gleich $\begin{eqnarray*} \frac{4}{9} \end{eqnarray*}$ setzen und auflösen, da komm ich ja so nicht weit,oder?

27.08.2012, 11:08

DP1996

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Also die angehängte Lösung liefert dir x/y, wenn ich das richtig lese. (?) Das ist falsch.

Zitat:

Und noch etwas:
Wenn ich das, was ich da haben ausmultipliziere, dann komme ich auf

$\begin{eqnarray*} \frac{yx + y^{2}- xy }{(x+y)^{2} } \end{eqnarray*}$

Ich erkenne zwar unten die binomische Formel, aber kann man das irgendwie sinnvoll vereinfachen?

Das stimmt. Bedenke zusätzlich, dass xy=yx ist.

edit: Ich glaube nicht, dass sich das so einfach auflösen lassen wird. Meines Erachtens ist da eine Variable zu viel da (oder eine Gleichung zu wenig).

27.08.2012, 11:16

Horizon77

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Danke Dir! Freude

Was mir gerade aufgefallen ist, könnte ich es so auflösen, vielleicht:

$\begin{eqnarray*} \frac{yx + y^{2}- xy }{(x+y)^{2} } \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{y^{2} }{(x+y)^{2} } \end{eqnarray*}$

Wenn ich dann in Zähler und Nenner die Wurzel ziehe, bleibt mir noch

$\begin{eqnarray*} \frac{y}{(x+y)} \end{eqnarray*}$

und das sähe ja schon wesentlich besser aus....oder?

27.08.2012, 11:21

DP1996

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Genau.

Nichtsdestotrotz sieht Eindeutigkeit anders aus, denn die Gleichung
$\begin{eqnarray*} \frac{y}{x+y}=\frac{2}{3}\Rightarrow y=2x \end{eqnarray*}$
hat mehr als eine Lösung.

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