Berechnung Schwerpunkt

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Mixer007 Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung Schwerpunkt
Hallo Leute,

ich hab hier ne Aufgabe bei der ich nicht sicher bin, ob mein Ansatz richtig ist.

Also zur Aufgabe:

Man soll den Schwerpunkt eines Kreiskegelmantels berechnen. Der Kegel habe die Höhe H und den halben Öffnungswinkel

da hab ich mir halt gedacht, dass man den Mantel aufrollt, also so wie hier

http://de.wikipedia.org/w/index.php?titl...=20101124183414

und dann den Mittelpunkt des Halbkreises berechnet und den des Kreissektors, der noch übrig bleibt. Und dies dann nach dieser Formel den endgültigen Schwerpunkt berechnet:


stimmt der Ansatz?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist nicht dasselbe, den Schwerpunkt des Kegelmantels als gekrümmte Fläche im dreidimensionalen Raum und den Schwerpunkt des Kreissektors, der entsteht, wenn man den Kegelmantel in eine Ebene entfaltet, zu berechnen.

Was hast du vor?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »



wenn hier die Randfunktion f(x)= linear ist ( oder auch nicht ) und rotiert, dann wäre der Schwerpunkt des Körpers

also Volumendrehmoment / Volumen.

Jetzt wäre zu überlegen, wie das abzuwandeln wäre, um den Schwerpunkt
der Mantelfläche zu bestimmen.
Mixer007 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok dann war mein Ansatz doch falsch.

Wie bestimme ich dann die Funktion f(x)?
Einfach aus der Abbildung ablesen ? Dies wäre ja dann F(x)= x?

Oder mach ich da wieder einen Fehler?
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Anschaulich ist klar:
Die Oberfläche eines Rotationskörpers, der bei Rotation einer Funktion y(x) im Intervall 0<x<h um die x-Achse entsteht, ist bekanntlich



Dabei ist u der Umfang der Kreises, der bei der Rotation der Funktion y(x) an der x ensteht, also und das differenzielle Element der Bogenlänge der rotierenden Kurve y(x). Einsetzen liefert die Formel der Mantelfläche eines Rotationskörpers (um die x-Achse)



Wir wollen aber nicht die Mantelfläche, sondern deren Schwerpunkt und müssen (gemäß der allg. Definition des Schwerpunktes) im Integranden den Faktor x hinzufühen und das entstehende Integral durch die obige Mantelfläche A dividieren, also



Das ist die allgemeine Formel zur Berechnung des Schwerpunktes einer Rotationsfläche (um die x-Achse). Wenn man diese Formel auf einen Kegelmantel mit dem Öffnungswinkel anwendet, ist die rotierende Kurve die Gerade . Beim Einsetzen kürzen sich alle konstanten Terme heraus und übrig bleibt



Das solltest du ausrechnen können.
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