Frage zu einer Aufgabe (Algebraische Strukturen)

27.08.2012, 22:52

Julian1411

Frage zu einer Aufgabe (Algebraische Strukturen)

Meine Frage:
Ich habe folgende Frage vor mir:
Prüfe ob es sich bei folgender Menge und Verknüpfung um eine Gruppe handelt:
G = R x R mit der Verknüpfung $\begin{eqnarray*} (a_{1},a_{2})*(b_{1},b_{2}) := (a_{1}b_{1} - a_{2} b_{2}, a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1}) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Um eine Gruppe zu sein muss die Menge und ihre Verknüpfung die 3 Gruppenaxiome erfüllen:
(G1) Assoziativität
(G2) linksneutrales Element
(G3) linksinverses Element

für G1 habe ich rausbekommen (die einzelnen Zwischenschritte erspare ich mir hier):
$\begin{eqnarray*} (a_{1}(b_{1}c_{1}-b_{2}c_{2})-a_{2}(b_{1}c_{2}+b_{2}c_{1}), a_{1}(b_{1}c_{2}+b_{2} c_{1}) + a_{2}(b_{1}c_{1}-b_{2} c_{1})) \end{eqnarray*}$ ist ungleich $\begin{eqnarray*} <br /> ((a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2})c_{1}-(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})c_{2},(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2})c_{2} + (a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})c_{1}) \end{eqnarray*}$

das ist doch richtig, oder? (also die Umwandlung von a*(b*c) und (a*b)*c in die Form welche die Verknüpfung vorgibt, oder ist mir irgendwo ein Fehler unterlaufen?)
Sollte das stimmen liegt keine Gruppe vor, trotzdem habe ich der Neugier wegen noch versucht ob G2 erfüllt werden kann und habe als linksneutrales Element $\begin{eqnarray*} (e_{1},e_{2}) = (1,0) \end{eqnarray*}$ gefunden, stimmt das?

Bei G3 habe ich bisher noch keine Lösung gefunden.

27.08.2012, 23:22

Leopold

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Einmal hast du einen Index falsch geschrieben (erste Zeile Ende), sonst stimmt es. Und die Terme sind gleich!

Hinter der ganzen Aufgabe steckt die Multiplikation der komplexen Zahlen. Und da dort eine Gruppe vorliegt, ist es auch hier so. Aber das brauchst du eigentlich gar nicht zu wissen. Bei (G3) mache den Ansatz

$\begin{eqnarray*} (x,y) * (u,v) = (1,0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ seien bekannt und $\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ gesucht. Berechne die linke Seite. Durch Vergleich der Koordinaten bekommst du dann ein Gleichungssystem für $\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ . Versuche, dieses zu lösen.

27.08.2012, 23:43

Julian1411

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Hallo Leopold,

erstmal vielen Dank für deine schnelle Antwort zu so später Stunde smile

Des mit dem Index war ein Versehen beim abtippen (war ziemlich unübersichtlich).

Könntest du mir vielleicht noch erklären wieso die Terme gleich sind? (also irgendwie aufdröseln oder so?)

Weil ich das nicht ganz nachvollziehen kann, wenn die Lösung total trivial ist dann verzeih mir das bitte, kann sein dass es an der späten Stunde liegt dass ich das nicht mehr sehe... verwirrt

Um G3 kümmere ich mich dann morgen ^^

MfG smile

28.08.2012, 00:13

Leopold

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Du mußt nur noch ausmultiplizieren und vergleichen. Reine Fleißarbeit.

28.08.2012, 09:38

Julian1411

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Habe jetzt ausmultipliziert und bei mir kommt jetzt auch raus dass es das gleiche ist.
Mein Fehler war dass ich jeweils nur die Subtrahenden bzw. Minuenden miteinander verglichen hab anstatt den ganzen Term. (wird mir nicht mehr passieren)

Bei G3 habe ich jetzt eine Lösung, aber nur unter den Bedingungen dass
$\begin{eqnarray*} a_{1} = a_{2} \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} a'_{1} = 1/2a_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a'_{2} = -1/2a_{2} \end{eqnarray*}$

Ist das die einzig richtige Lösung?
(Aber irgendwie kann das nicht die richtige Lösung sein, weil dann ja nicht jedes a ein inverses Element a' besitzt)

MfG smile

28.08.2012, 11:19

Leopold

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$\begin{eqnarray*} (x,y)*(u,v) = (1,0) \end{eqnarray*}$

Gegeben $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ , sind $\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit davon gesucht. Nach der Definition der Sternoperation sind die Gleichungen

$\begin{eqnarray*} \text{(1)} \ \ xu - yv = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{(2)} \ \ yu + xv = 0 \end{eqnarray*}$

zu lösen. Das ist ein lineares Gleichungssystem in $\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ . Es ist eindeutig lösbar, wenn seine Determinante $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist. Da $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ reelle Zahlen sind, ist das dann und nur dann der Fall, wenn $\begin{eqnarray*} (x,y) \neq (0,0) \end{eqnarray*}$ ist. Wenn also die zugrunde liegende Menge $\begin{eqnarray*} G = \mathbb{R} \times \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist, ist $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ keine Gruppe, denn $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ besitzt kein Inverses bezüglich der Sternoperation. Wenn aber, was ich vermute, $\begin{eqnarray*} G = \mathbb{R} \times \mathbb{R} \setminus \{ (0,0) \} \end{eqnarray*}$ ist, liegt eine Gruppe vor. (Es wäre noch zu überprüfen, daß dieses $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ abgeschlossen bezüglich der Sternoperation ist, daß das Ergebnis dieser Operation also niemals $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ ist.)

Wenn dir diese Zusammenhänge der Linearen Algebra bekannt sind, kannst du so vorgehen und bist im wesentlichen fertig. Eine explizite Darstellung des Inversen ist ja nicht vonnöten.
Im andern Fall mußt du das lineare Gleichungssystem "von Hand" lösen. Man könnte zum Beispiel so beginnen, das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -fache der ersten Gleichung zum $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -fachen der zweiten zu addieren ...

28.08.2012, 11:58

Julian1411

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Habe gerade extra nochmal nachgeschaut und es ist G = R x R also inklusive (0,0) .

Ich werde mir das von dir vorgeschlagene Verfahren in den nächsten Tagen mal genau angucken.

Da ich mich gerade auf mein Mathestudium vorbereite (welches am 1.10 beginnt) indem ich mir die Skripte mal schonmal angucke sind mir die einzelnen Schritte und Methoden noch nicht so bewusst und da bei den Aufgaben keine Lösungen dabei stehen habe ich hier nachgefragt.

Vielen Dank für deine Hilfe! Freude

MfG
Julian

28.08.2012, 18:48

Mystic

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Zitat:

Original von Julian1411
Habe gerade extra nochmal nachgeschaut und es ist G = R x R also inklusive (0,0) .

In diesem Fall kannst du alles vergessen, was bisher gesagt und gemacht wurde, und du solltest statt dessen lieber zeigen, dass für bel. Paare (a,b),(c.d) gilt:

1. (a,b)(c,d)=(c,d)(a,b), d.h., die Operation ist kommutativ...
2. (a,b)(0,0)=(0,0), d.h., (0,0) ist nicht neutrales Element und besitzt - egal wie das neutrale Element aussieht, falls es existiert - auch kein Inverses...

Das Weglassen von überflüssigem Beiwerk spart nämlich nicht nur Zeit, sondern zeigt im Fall eines Tests auch, dass du wirklich verstanden hast, um was es eigentlich geht... Augenzwinkern

28.08.2012, 19:55

Julian1411

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Hallo Mystic =)

danke für deine Antwort smile

mit dem von dir genannten 1. prüfe ich doch nur ob die Gruppe (falls es eine Gruppe ist) eine abelsche ist, oder nicht?

Und ich dachte ich hätte mit (1,0) das linksneutrale Element bereits gefunden?

Oder sind die von dir beschriebenen Schritte nur eine andere, einfachere Methode?
Wieso sollte ich dann zuerst zeigen dass die Operation kommutativ ist?
Schritt 2 kann ich nachvollziehen, wenn einem die Problematik mit (0,0) bekannt ist und dann nur diesen Fall prüfen muss spart man sich wirklich enorm viel Zeit.

MfG

28.08.2012, 21:22

Mystic

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Zitat:

Original von Julian1411
mit dem von dir genannten 1. prüfe ich doch nur ob die Gruppe (falls es eine Gruppe ist) eine abelsche ist, oder nicht?

Richtig... Aber diese Operation ist kommutativ und das macht alles sehr viel einfacher in Hinblick auf 2., das man sonst in zwei Bedingungen aufspalten müsste...

Zitat:

Original von Julian1411
Und ich dachte ich hätte mit (1,0) das linksneutrale Element bereits gefunden?

Ja, dies ist aber für mein Argument überflüssig, denn ich brauche es nicht...

Zitat:

Original von Julian1411
Schritt 2 kann ich nachvollziehen, wenn einem die Problematik mit (0,0) bekannt ist und dann nur diesen Fall prüfen muss spart man sich wirklich enorm viel Zeit.

Ja, die Null bzw. hier (0,0) macht oft Probleme, also insofern liegt diese Idee auf der Hand... Augenzwinkern

29.08.2012, 08:17

Julian1411

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Okay, dann erspare ich mir durch diese Methode das explizite Suchen eines linksneutralen und linksinversen Elements wenn die 0 in diesem Fall Probleme macht.

Habs jetzt verstanden, vielen Dank! Freude

MfG

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