Konfidenzintervall bei Poisson-Verteilung

28.08.2012, 10:40	ChrisPoisson	Auf diesen Beitrag antworten »
Konfidenzintervall bei Poisson-Verteilung Hallo, ich habe eine Frage zum Konfidenzintervall bei Poisson-Verteilung. Ausgangssituation: ich nehme aus einer Grundgesamtheit eine Probe. Das Merkmal auf das ich untersuche (in einer binären Folge stellt '0' = kein Fehler und '1' = Fehler) ist poissonverteilt (eigentlich Neyman-TypA aber ich möchte erstmal den Poisson-Fall lösen). Ich möchte nun wissen ob ich von der Probe auf die Grundgesamtheit schließen kann. Dazu entnehme ich der Grundgesamtheit mehrere zufällige Proben und werte die Häufigkeit der gezählten Fehler aus (also wie oft enthielt die Probe 1,2, u.s.w. Fehler). Nun ermittle ich für das $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ der Grundgesamtheit einen Schätzer per Likelihood-Funktion $\begin{eqnarray} \hat \lambda = \frac{\sum\limits_{i=1}^n x_i}{n} = \bar{x} \end{eqnarray}$ . Ich hoffe das stimmt als Punktschätzer erstmal. Nun möchte ich aber gerne das Konfidenzintervall dazu angeben. In Matlab steht die Funktion poissfit zur Verfügung womit ich zwar ein Ergebnis erhalte aber keinen Rechenweg (letztendlich nutzt Matlab dann eine Chi-Quadrat-Verteilung per chi2inv). Ich wäre daher für Literaturempfehlungen (besser: zitierfähige Quellen) dankbar (evtl. mit Praxisbeispielen). Vielen Dank Christian
30.05.2020, 17:57	GastPoisson	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konfidenzintervall bei Poisson-Verteilung Hallo zusammen, ich stehe heute vor exakt dem selben Problem, hast du damals eine Antwort herausgefunden? Viele Grüße
30.05.2020, 18:05	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke mal, dass ChrisPoisson nach knapp 8 Jahren inzwischen nicht mehr regelmäßig das matheboard besucht.
03.06.2020, 09:32	GastPoisson	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das kann ich mir vorstellen, hatte gehofft das evtl. jemand einen Lösungsvorschlag hat?
03.06.2020, 10:38	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Da der $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ -Punktschätzer dem Stichprobenmittelwert entspricht, dann nimm doch einfach das Konfidenzintervall für den Mittelwert als $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ -Konfidenzintervall! D.h. $\begin{eqnarray} I_{1-\alpha} = \left[ \bar{x} - t_{1-\frac{\alpha}{2};n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}~,~ \bar{x} + t_{1-\frac{\alpha}{2};n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}\right] \end{eqnarray}$ mit Stichprobenmittelwert $\begin{eqnarray} \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i \end{eqnarray}$ sowie Stichprobenvarianz $\begin{eqnarray} s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n \left(x_i-\bar{x}\right)^2 \end{eqnarray}$ , und dem $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ -Quantil $\begin{eqnarray} t_{1-\frac{\alpha}{2};n-1} \end{eqnarray}$ zum Freiheitsgrad $\begin{eqnarray} n-1 \end{eqnarray}$ .
03.06.2020, 12:57	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein exaktes Konfidenzintervall für das $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ der Poissonverteilung ist hier angegeben: https://de.wikipedia.org/wiki/Poisson-Ve...fidenzintervall Hat man mehrere Stichproben, kann man die zu einer großen Stichprobe zusammenfassen und dafür das Konfidenzintervall bestimmen. Das Ergebnis bezieht sich dann natürlich auf einen Beobachtungszeitraum gleich der Summe der Beobachtungszeiträume der einzelnen Stichproben. Das kann man dann auf den gewünschten Beobachtungszeitraum umrechnen.
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