Anfangswertproblem einer DGL 2.Ordnung

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28.08.2012, 10:46	Camarero	Auf diesen Beitrag antworten »
Anfangswertproblem einer DGL 2.Ordnung $\begin{eqnarray} y''(x)-xy'(x)-y(x)=0 , <br /> <br /> a_{0} =y(0)=1, a_{1} =y'(0)=0 \end{eqnarray}$ (a) Geben Sie die Lösung des Anfangswertproblems in Form der Potenzreihenentwicklung (Taylorentwicklung) $\begin{eqnarray} P(x,0) \end{eqnarray}$ der Funktion $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ im Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ an! Verwenden Sie hierbei die Methode des Koeffizientenvergleiches. (b) Bestimmen Sie den Konvergenzradius $\begin{eqnarray} r_{P} \end{eqnarray}$ der Potenzreihe! (c) Schließen Sie aus der Potenzreihenentwicklung von $\begin{eqnarray} P(x,0) \end{eqnarray}$ , welche explizite Gestalt die Funktion $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ hat. Meine Idee: Ich würde den Ansatz $\begin{eqnarray} y(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_{n}x^{n} \end{eqnarray}$ nehmen und diesen 2 Mal ableiten um ihn anschließen in die Ausgangsgleichung einzusetzten. Lieg ich damit richtig?
28.08.2012, 10:51	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem einer DGL 2.Ordnung Hallo, ja, so ist das gedacht. mfg, Ché Netzer
28.08.2012, 10:56	Camarero	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem einer DGL 2.Ordnung Ich war etwas verwirrt weil der Potenzreihenansatz $\begin{eqnarray} y(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_{n}x^{n} \end{eqnarray}$ ja nicht die Taylorentwicklung ist, welche laut Aufgabe aber genutzt werden soll.
28.08.2012, 11:16	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem einer DGL 2.Ordnung Wieso? Für ein allgemeines $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ ist das doch die Tayler-Entwicklung mit Entwicklungspunkt Null.
28.08.2012, 11:40	Camarero	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem einer DGL 2.Ordnung Gut, dann sind die Ableitungen: $\begin{eqnarray} y'(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty na_{n} x^{n-1} = \sum\limits_{n=0}^\infty (n+1)a_{n+1} x^{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y''(x)=\sum\limits_{n=2}^\infty (n-1)na_{n} x^{n-2} =\sum\limits_{n=0}^\infty (n+1)(n+2)a_{n+2} x^{n} \end{eqnarray}$ Diese setze ich ein in: $\begin{eqnarray} y''-y=xy' \end{eqnarray}$ und anschließend setze ich die Werte für $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ein. Jetzt habe ich einen Koeffizeintenvergleich gemacht. $\begin{eqnarray} a_{0} =1<br /> a_{1} =0<br /> a_{2} =1/2<br /> a_{3} =0<br /> a_{4} =1/8<br /> a_{5} =0 \end{eqnarray}$ Das sind meine Ergebnisse. Ist das schon die Lösung?
28.08.2012, 12:02	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem einer DGL 2.Ordnung Stell doch mal eine allgemeine Formel auf: $\begin{eqnarray} a_{n+2}=\dotso \end{eqnarray}$ . Du brauchst ja noch Konvergenzradius und explizite Darstellung. (die Koeffizienten stimmen aber)
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28.08.2012, 13:14	Camarero	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem einer DGL 2.Ordnung Warum $\begin{eqnarray} a_{n+2} \end{eqnarray}$ ? Jedes $\begin{eqnarray} a_{2n+1} =0 \end{eqnarray}$ Also müsste ich doch $\begin{eqnarray} a_{2n}=... \end{eqnarray}$ nehmen, oder?
28.08.2012, 13:15	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem einer DGL 2.Ordnung Ich meinte zunächst einmal eine Rekursionsformel. Danach kannst du berücksichtigen, dass $\begin{eqnarray} a_{2n+1}=0 \end{eqnarray}$ , und dich auf gerade Indizes einschränken. Damit kannst du dann noch etwas anstellen.
28.08.2012, 13:35	Camarero	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem einer DGL 2.Ordnung Die Rekursionsformel lautet dann also $\begin{eqnarray} a_{n+2} =\frac{a_{n} }{n} \end{eqnarray}$ ?
28.08.2012, 13:45	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem einer DGL 2.Ordnung Ich komme auf etwas anderes.
28.08.2012, 13:54	Camarero	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem einer DGL 2.Ordnung Auf was denn?
28.08.2012, 13:58	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem einer DGL 2.Ordnung Rechne doch nochmal nach. Du hast als DGL ja $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty a_{n+2}(n+1)(n+2)x^n=\sum_{n=1}^\infty a_nnx^n+\sum_{n=0}^\infty a_nx^n \end{eqnarray}$
28.08.2012, 14:17	Camarero	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem einer DGL 2.Ordnung Jetzt müsste es stimmen: $\begin{eqnarray} a_{n+2} =\frac{a_{n} }{(n+2)} \end{eqnarray}$ , danach hab ich ja auch die Koeffizienten berechnet.
28.08.2012, 14:39	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem einer DGL 2.Ordnung Ja, da stimmt. Jetzt wollen wir eine explizite Form für $\begin{eqnarray} y(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n \end{eqnarray}$ . Schreibe dazu die Rekursionsformel für gerades $\begin{eqnarray} n=2m \end{eqnarray}$ (bzw. $\begin{eqnarray} n+2=2m \end{eqnarray}$ ) um.
28.08.2012, 15:21	Camarero	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem einer DGL 2.Ordnung $\begin{eqnarray} a_{2n+2} =\frac{a_{2n} }{(2n+2)} \end{eqnarray}$ wenn man sich dann nach dem Einsetzten die ergebnisse ansieht, sieht es aus, wie $\begin{eqnarray} \frac{1}{n!} \end{eqnarray}$ also: $\begin{eqnarray} y(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}x^{2n} \end{eqnarray*}$ ?
28.08.2012, 15:28	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem einer DGL 2.Ordnung Das ist schon fast richtig, aber der Faktor $\begin{eqnarray} \tfrac12 \end{eqnarray}$ aus der Rekursionsgleichung ist verloren gegangen.
28.08.2012, 15:31	Camarero	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem einer DGL 2.Ordnung Oh ja, Also lautet die endgültige Lösung: $\begin{eqnarray} y(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{2} \frac{1}{n!}x^{2n} \end{eqnarray}$
28.08.2012, 15:37	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem einer DGL 2.Ordnung Diesmal hast du übersehen, dass der Faktor $\begin{eqnarray} \tfrac12 \end{eqnarray}$ immer wieder hinzukommt
28.08.2012, 15:41	Camarero	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem einer DGL 2.Ordnung $\begin{eqnarray} y(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n)!}x^{2n} \end{eqnarray*}$
28.08.2012, 16:02	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem einer DGL 2.Ordnung Aber die $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ gehört doch nicht in die Fakultät. Wenn du deinen Koeffizienten immer mit $\begin{eqnarray} \frac1{2(n+1)} \end{eqnarray}$ multiplizierst, was geschieht dann mit dem konstanten Faktor $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ ?
28.08.2012, 16:09	Camarero	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem einer DGL 2.Ordnung Er wird immer kleiner. Also kommt das 1/2 vor das Summenzeichen?
28.08.2012, 16:14	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem einer DGL 2.Ordnung Nein, das wäre ja kein Unterschied. Was würdest du denn zu der Gleichung $\begin{eqnarray} b_{n+1}=\frac{b_n}2 \end{eqnarray}$ sagen? Wenn man also immer wieder durch $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ teilt?
28.08.2012, 16:31	Camarero	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem einer DGL 2.Ordnung Ich hab keine Ahnung, das Ergebnis würde verfälscht werden, da ja immer wieder durch 2 geteilt wird, aber ich weiß nicht, wie ich das in die Endformel einfließen lassen soll...
28.08.2012, 16:34	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem einer DGL 2.Ordnung Wenn du eine Zahl $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -mal mit $\begin{eqnarray} \tfrac12 \end{eqnarray}$ multiplizierst; fällt dir dann kein Ausdruck ein, womit du dieses Produkt direkt erzeugen könntest?
28.08.2012, 16:37	Camarero	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem einer DGL 2.Ordnung ich könnte gleich $\begin{eqnarray} \frac{n}{2} \end{eqnarray}$ nutzen.
28.08.2012, 16:39	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem einer DGL 2.Ordnung Da verwechselst du Addition mit Multiplikation
28.08.2012, 16:45	Camarero	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem einer DGL 2.Ordnung Ahhh, ach Potenzieren Dann komm ich auf: $\begin{eqnarray} y(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n!2^{n} } x^{2n} \end{eqnarray}$
28.08.2012, 16:51	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem einer DGL 2.Ordnung Genau Aber dafür hast du diesmal den Startindex auf $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ gesetzt, der sollte Null sein Jetzt kannst du schon den Konvergenzradius bestimmen. Wenn du die Potenzen zusammenfasst, dürftest du die Reihendarstellung einer bekannten Funktion wiedererkennen.
28.08.2012, 21:50	Camarero	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem einer DGL 2.Ordnung Zum Konvergenzradius: $\begin{eqnarray} r=\lim_{n \to \infty } \| \frac{a_{n} }{a_{n+1} } \| =\| \frac{(n+1)!2^{n+1} }{n!2^{n} } \| =\| (n+1)2 \| =\infty \end{eqnarray*}$ Somit besitzt die Potenzreihe keinen Konvergenzradius, also sie divergiert.
28.08.2012, 21:54	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem einer DGL 2.Ordnung Sie besitzt keinen Konvergenzradius, weil $\begin{eqnarray} r=\infty \end{eqnarray}$ ? Da hast du das Quotientenkriterium und die Formel zur Bestimmung des Konvergenzradius durcheinandergebracht Sie konvergiert tatsächlich immer, da der Konvergenzradius ja Unendlich ist. Dann fehlt nur noch die explizite Darstellung.
28.08.2012, 22:08	Camarero	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem einer DGL 2.Ordnung Es ist schon spät Also weil $\begin{eqnarray} r=\infty \end{eqnarray}$ , konvergiert die Potenzreihe immer. Und die explizite Darstellung ist, wenn ich mich nicht täusche die e-Funktion. Also in dem Fall $\begin{eqnarray} e^{x^{2} } \end{eqnarray}$
28.08.2012, 22:16	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem einer DGL 2.Ordnung Da fehlt nur noch eine Kleinigkeit im Exponenten, ansonsten stimmt es schon.
28.08.2012, 22:21	Camarero	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem einer DGL 2.Ordnung $\begin{eqnarray} \frac{e^{x^{2} } }{2^{x} } \end{eqnarray}$ ?
28.08.2012, 22:25	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem einer DGL 2.Ordnung Nein, der Fehler war ja nur im Exponenten.
28.08.2012, 22:28	Camarero	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem einer DGL 2.Ordnung nur $\begin{eqnarray} e^{x} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} e^{2x} \end{eqnarray}$ ?
28.08.2012, 22:43	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem einer DGL 2.Ordnung Nein. Schreibe den Summanden doch mal so um: $\begin{eqnarray} \frac{x^{2n}}{n!2^n}=\frac{\left(\frac{x^2}2\right)^n}{n!} \end{eqnarray}$ . Jetzt sollte es aber klar sein
28.08.2012, 22:52	Camarero	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem einer DGL 2.Ordnung $\begin{eqnarray} e^{\frac{x^{2} }{2} } \end{eqnarray}$
28.08.2012, 22:55	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem einer DGL 2.Ordnung Jetzt stimmt's.
28.08.2012, 22:56	Camarero	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem einer DGL 2.Ordnung Super! Vielen Dank!

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