Kugelkoordinaten - resultierende Kraft einer Blase

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TheresaJohanna Auf diesen Beitrag antworten »
Kugelkoordinaten - resultierende Kraft einer Blase
Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich schreibe momentan an meiner Diplomarbeit und kann mir ein Kräftegleichgewicht nicht erklären.
Ich habe den Fall einer Gasblase in Flüssigkeit vorliegen und möchte die Kraft, die aus Oberflächenkräften resultiert, bestimmen (siehe Abbildung).


Meine Ideen:
Den rechten Teil der Gleichung (auch angehängt), kann ich mir erklären, sofern es richtig ist, dass 2*sin(d\phi/2)= d\phi ist (???).
Der linke Teil bereitet mir dagegen Probleme, da ich keine Erklärung für die zweite Ableitung (sofern es denn eine ist) habe.

Bin euch super dankbar für jegliche Anmerkungen und Hilfestellungen.
Grüße,
Theresa
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kugelkoordinaten - resultierende Kraft einer Blase
Mit "" soll wohl ausgedrückt werden

,

also dass die Kraft quadratisch zu steigt.
TheresaJohanna Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, aber warum sollte das so sein?
Ich hätte jetzt eher gedacht, dass es sich um die zweite Ableitung der Kraft nach handelt, also ...
Naja, aber wahrscheinlich bin ich im Matheboard auch fehl am Platz mit meiner Frage.
Wenn dennoch jemand eine weitere Antwort hat, wär ich sehr dankbar!

Achja, mit der Funktionaldeterminanten der Kugelkoordinaten hat das nicht zutun, oder?
TheresaJohanna Auf diesen Beitrag antworten »

Auch wenn sich mein Hauptproblem wahrscheinlich vorerst nicht lösen lässt...

Kann mir jemand bestätigen, dass gilt:



Danke! smile
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Der Innerdruck einer Blase ist bekanntlich , wobei r der Radius und die Oberflächenspannung ist. (Die Herleitung dieser Gleichung findest du im Net.) Beide Seiten multiplizieren wir mit dem Flächenelement und erhalten die differenzielle Kraft auf das Flächenelement



Division durch liefert



In deinem Buch hat man diese Rechnung am Äquator gemacht, wo gilt . Das ist möglich, weil die Verhältnisse in der Blase kugelsymmetrisch sind. Damit reduziert sich obige Gleichung auf die Formel in deinem Buch



In deinem Buch hat man noch den Winkel mit gleichgesetzt, was meiner Meinung nach fragwürdig ist.
TheresaJohanna Auf diesen Beitrag antworten »

Okay schön... das hat mich schon ein klein wenig weitergebracht. DANKE!

Jedoch ist das Problem, dass die Formel für den Druck mit den vorgestellten Schritten über eine weitere Kräftebilanz der Drücke hergeleitet werden soll. Deshalb kann ich den Ansatz nicht schon vorher verwenden... (Sorry, das hätt ich vllt. eher sagen sollen...)

Nichtsdestotrotz komme ich wahrscheinlich schon auf eine Lösung, wenn du oder jemand anderes mir erklären kann, wie bei der Division durch aus dem ein wird.
 
 
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Frage 1:
Die Abhängigkeit des Innendruckes einer Seifenblase von der Oberflächenspannung gewinnt man durch folgende einfache Überlegung: Beim "Aufpusten" einer Seifenblase vergrößert sich der Radius r, wobei eine Arbeit verrichtet wird. In differenzieller Form lautet dies . Dabei ist die Kraft F das Produkt aus Innendruck p und der Seifenblasenoberfläche . Einsetzen liefert

________(Formel 1)

Betrachtet man andererseits die Arbeit W(r) als verkettete Funktion mit der Kugelfläche A, also W[A(r)], so liefert die Ableitung mittels Kettenregel . Mit der Definition der Oberflächenspannung wird daraus die Hilfsformel

________(Formel 2)

Darin benötigen wir die Ableitung der Oberfläche A der Seifenblase nach dem Radius r. Pustet man eine Seifenblase vom Radius bis zum Radius auf, wächst die Kugeloberfläche von auf . Die Oberflächenzunahme der Blase ist dabei die Differenz . Die Ableitung , die wir in (2) benötigen, ist also der Grenzwert

. Einsetzen in (2) liefert

__________(Formel 3)

Gleichsetzen von (2) und (3) und Umstellen nach p liefert die gesuchte Abhängigkeit des Innendruckes einer Seifenblase in Abhängigkeit von deren Radius



Interessant ist: Je kleiner die Seifenblase, um so größer der Innendruck

Frage 2:
Wenn man durch dividiert, entsteht

. Der Exponent 2 bei ist nur eine symbolische Schreibweise, die andeuten soll, dass man durch 2 Variablen differenziert. Du hast recht, im Prinzip müsste man auch in der Formel davor schreiben . Aber es hat sich eingebürgert, dies nicht zu tun. Dieser Unterschied ist also rein formal und ohne tiefen Sinn.
TheresaJohanna Auf diesen Beitrag antworten »

Uuuiuiuiuiuiii, vielen Dank für deinen Eintrag! Ich hoffe, ich habe damit nicht zu viel deiner Zeit geraubt...
Nur habe ich ja schon zuvor geschrieben, dass ich mit der Formel durch eine weitere Kräftebilanz, in die Außen- und Innendruck einfließen, herleiten werde... da bestehen auch keine Probleme.
Eigentlich habe ich nur ein Problem mit der Formel:

Und dabei kann ich auch nicht zur Herleitung verwenden, da diese damit ja erst hergeleitet werden soll.

Interessant ist allerdings, dass das Quadrat bei einfach "symbolisch" hingeschrieben werden kann... Dann nehm ich das jetzt einfach erstmal so hin!

Vielen Dank!
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

@TheresaJohanna,
Ich habe dir alles vorgerechnet, was du benötigst. Du musst es nur noch zusammensetzen.

1.Schritt:
Leite meine Formel so her, wie ich es gezeigt habe. Deine Formel stimmt damit überein. Bei der ersteren Formel wird lediglich die Druckdifferenz mit abgekürzt. Meine Herleitung dieser Formel beruht übrigens genau auf dem Kräftegleichgewicht, das du meinst, obwohl ich das nicht explizit so genannt habe. Man setzt nämlich die Kräfte (2) und (3) gleich.

2.Schritt:
Aus der eben hergeleiteten Formel leitest du nun die Formel so ab, wie ich es gestern gezeigt habe. Letztere Formel ist genau das, was du suchst, denn Umstellen ergibt . Der einzige Unterschied ist, dass in deiner Formel nicht steht, sondern . Gemäß deiner Skizze sind aber die Winkel und gleich groß sind, weil das Flächenstück auf der Blase ist ein Quadrat.

Mehr kann man dazu nicht sagen. Habe selten in eine Trivialität so viel Arbeit investiert.
TheresaJohanna Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, vielleicht "reden" wir auch gerade aneinander vorbei, aber ich kann doch nicht mit einer Formel die ich für die Herleitung verwende, schlussendlich die gleiche wieder herausbekommen.

Das heißt, wenn jetzt

Formel A

und

Formel B

ist, kann ich doch nicht um
B herauszubekommen A einsetzen, um
dann in einem nächsten Schritt von B auf A zu schließen.

Deine Schritte und Berechnungen verstehe ich ansonsten vollkommen, nur der Gesamtweg erscheint mir fragwürdig.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich die richtig verstehe, willst du am Ende die Formel herausbekommen. (Stimmt das?) Dazu benötist du vorher die Formel , die ich dir abgeleitet habe (1.Schritt). Ich habe dir auch geschrieben, wie man daraus in einem 2.Schritt die obige Formel ableitet, die du am Ende haben willst.

Du musst jetzt nur alles in die richtige Reihenfolge bringen. Bin am Montag wieder da.
TheresaJohanna Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Ehos,
schön, dass du noch nicht aufgegeben hast. ;-)

Zitat:
Wenn ich die richtig verstehe, willst du am Ende die Formel herausbekommen. (Stimmt das?) Dazu benötist du vorher die Formel , die ich dir abgeleitet habe (1.Schritt).


Nein, es ist genau anders rum.
Ich möchte herleiten OHNE zu verwenden.
Allein die Kräfte, die in der Abbildung meines allerersten Posts eingezeichnet sind, sollen zu ersteren Gleichung führen.
Vielleicht schicke ich gleich mal einen Scan meines Ansatzes mit.
TheresaJohanna Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, nun kommt einmal mein eigener Ansatz.
Ich bin mir unsicher mit dem rechten Winkel der Kraft F_R... Kann man das so machen?
Und das d^2 vorm F_R muss man dann also einfach ergänzen, weil auf der anderen Seite auch zwei differentielle Teile stehen.
Außerdem kommt hier auch noch eine Frage vom Anfang, ob man wirklich setzen kann.

Der zweite Anhang zeigt dann noch, wie aus dann hergeleitet wird.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Ist mit nicht eigentlich gemeint?
TheresaJohanna Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, musste mich gerade erst noch erkundigen, was noch gleich der Unterschied zwischen und ist und habe folgendes gefunden:

Zitat:
für endlich große Differenzen
für unendlich kleine Differenzen, die Differentiale sind
für unendlich kleine Differenzen, die keine Differentiale zu sein brauchen


Demnach ist mir damit nicht erklärt, warum überhaupt ein bzw. vor die Kraft gesetzt werden soll. Den Ausgleich der differentiellen Anteile hätt ich jetzt so hingenommen.
In der Literaturstelle schreiben sie allerdings auch ein und kein ...
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

@Dopap
Ich habe diesen "feinen Unterschied" zwischen den Symbolen und früher gar nicht gemacht. In diesem Beitrag will ich mich bessern.

@TherasaJohanna
Vielleicht bist du mit folgender Herleitung zufrieden:

Wir betrachten die Arbeit W, die zum Aufpusten der Blase notwendig ist, als verkettete Funktion der Kugelfläche A und des Radius r, also W=W[A(r)]. Differenzieren nach r ergibt mit der Kettenregel . Einsetzen der Definition der Oberflächenspannung ergibt mit der Kugeloberfläche die Formel . Eine einfache Erweiterung mit r liefert



Dies ist die Summe aller lokalen Kräfte dF auf alle differenziellen Flächenelemente dA der Blase. Die Kraft auf ein einziges Flächenelement lautet also



Hier setzen wir das Flächenelement der Kugeloberfläche ein und erhalten die lokale Kraft auf ein einziges differenzielles Flächenelement der Blase



Im Allgemeinen ist das differenzielle Flächenelemet ein kleines Rechteck mit den Seitenlängen und . Betrachtet man zwecks Vereinfachung ein kleines Quadrat, so sind beide Seiten des Rechteckes identisch, also . Dann vereinfacht sich die Kraft zu



Bist du damit zufrieden?
TheresaJohanna Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Ehos,
vielen Dank für deine Antwort und sorry, dass ich jetzt erst schreibe.
Mit deiner Antwort bin ich vollstens zufrieden. Sie ist gut nachvollziehbar...
vor allem habe ich mich nun damit abgefunden, dass es wohl keinen Weg gibt, der nach einem einfachen Kräftegleichgewicht, wie es aus der Mechanik bekannt ist, geht bzw. nach keinem, das auf die eingezeichneten Kräfte in der angefügten Abbildung übertragbar ist. Auf so etwas hatte ich nämlich immer gehofft...

Und für den Exponenten 2 gibts wirklich keine andere Erklärung als:
Zitat:
Der Exponent 2 bei ist nur eine symbolische Schreibweise, die andeuten soll, dass man durch 2 Variablen differenziert.
?

Nichtsdestotrotz deine Erklärung wird sich in jedem Fall in meiner Diplomarbeit wiederfinden. Augenzwinkern
Also, vielen, vielen Dank.

Theresa
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