Senkrechte Einheitsvektoren bestimmen

28.08.2012, 16:23	McDolan	Auf diesen Beitrag antworten »
Senkrechte Einheitsvektoren bestimmen Hallo! Es gibt da ein Problem mit einer Aufgabe. Ich soll alle senkrechten Einheitsvektoren von folgenden Vektoren berechnen: $\begin{eqnarray} \vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} <br /> \vec{b} = \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Zwei Vektoren sind ja senkrecht zueinander, wenn $\begin{eqnarray} \vec{a} \vec{b} = 0 \end{eqnarray}$ ergibt. Einheitsvektoren berechne ich mit $\begin{eqnarray} \frac{1}{\| \vec{a} \| } * \vec{a} \end{eqnarray}$ . Die Einheitvektoren habe ich dann berechnet, und müssten lauten: Für a: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{35} } * \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Für b: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{49} } * \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Oder hab ich hier schon was falsch? Denn jetzt bin ich ein bisschen ratlos, wie ich durch dese Vektoren feststelle, ob sie senkrecht sind oder nicht.
28.08.2012, 20:17	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
ich nehme an, dass es 2 Aufgaben vom selben Typ sind. 1.) jeder Vektor $\begin{eqnarray} \vec n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \vec a \cdot \vec n =0 \end{eqnarray}$ steht sekrecht auf $\begin{eqnarray} \vec a \end{eqnarray}$ . Also $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} =0 \Rightarrow n_1+3n_2+5n_3=0 \end{eqnarray}$ das ist eine 2 fach überbestimmte Gleichung, 2 Variable sind frei Wählbar. z.B. $\begin{eqnarray} n_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n_3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow n_1=-3n_2-5n_3 ~~ \land n_2,n_3 \in \mathbb R \end{eqnarray}$ , d.h. es gilt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -3n_2-5n_3 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} =0 ~~ \land n_2,n_3 \in \mathbb R \end{eqnarray}$ wen die $\begin{eqnarray} n_2, n_3 \end{eqnarray}$ stören, kann dafür andere Parameter wählen, z.b. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -3\lambda -5\mu \\ \lambda \\ \mu \end{pmatrix} =0 ~~ \land \lambda ,\mu \in \mathbb R \end{eqnarray}$ die Sache hat noch einen Haken: der Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -3\lambda -5\mu \\ \lambda \\ \mu \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ hat nicht den Betrag 1. Aber das kannst du sicher noch korrigieren. Aufgabe 2.) sinngemäss

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