Taylor-Reihe von sin(x²) / sin(x)² um x'=0

28.08.2012, 17:36

Till1990

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Taylor-Reihe von sin(x²) / sin(x)² um x'=0

Meine Frage:
Hallo zusammen, ich habe die Aufgabe einen Grenzwert mithilfe der Taylor-Darstellung zu bestimmen.

\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x²) }{\sin(x²) }

Die Aufgabe gibt keine Angabe darüber wie viele Polynome erzeugt werden sollen.

Meine Ideen:
Ich habe mir überlegt, dass ich sin(x²) einfach als Summendarstellung mit:

\sin(x²) = \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^{n} \frac{x^{4n+1} }{2n+1}

schreibe und

\sin(x)² = \sum\limits_{n=0}^\infty ( (-1)^{n} \frac{x^{4n+1} }{2n+1} )²

Dann divigiere ich ein paar der einzelnen Summenglieder und versuche eine Regel zu finden die ich per Induktions für alle n beweise und habe eine vollständige Taylorreihe für sin(x²)/sin(x)².

28.08.2012, 18:00

HAL 9000

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Die Schreibweise $\begin{eqnarray*} \sin(x)^2 \end{eqnarray*}$ ist unüblich und missverständlich. Da du ja sicher nicht die triviale Aufgabe $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} 1 \end{eqnarray*}$ gestellt bekommen hast, wird damit wohl

$\begin{eqnarray*} (\sin(x))^2 = \sin^2(x) \end{eqnarray*}$

gemeint sein. Augenzwinkern

Augenzwinkern

In dem Fall ist hier schon dein erster Fehler (abgesehen von einigen Tippfehlern):

Zitat:

Original von Till1990
\sin(x)² = \sum\limits_{n=0}^\infty ( (-1)^{n} \frac{x^{4n+1} }{2n+1} )²

Das Quadrat eines Reihenwertes ist nicht gleich dem Reihenwert der Quadrate der Reihenglieder!!!

Möglich wäre

$\begin{eqnarray*} \sin^2(x) = \left( \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \right)^2 \end{eqnarray*}$

aber günstiger in der Berechnung ist es, das störende Quadrat durch Kenntnisse der Additionstheoreme zu entfernen:

$\begin{eqnarray*} \sin^2(x) = \frac{1-\cos(2x)}{2} = \ldots \end{eqnarray*}$

und dann rechts die Kosinus-Taylorreihe einsetzen.

Und überhaupt: Die Aufgabe, so wie sie oben steht, fordert nicht von dir, eine Taylorreihe für $\begin{eqnarray*} \frac{\sin(x^2)}{\sin^2(x)} \end{eqnarray*}$ aufzustellen. Du sollst lediglich den Grenzwert dieses Terms für $\begin{eqnarray*} x\to 0 \end{eqnarray*}$ mit der Hilfe von Taylor-Darstellungen bestimmen - das ist was anderes, viel weniger aufwändiges.

28.08.2012, 18:22

Mystic

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Auch wenn dies nicht dem geforderten Lösungsweg entspricht, kann man mithilfe der elementaren Umformung

$\begin{eqnarray*} \frac {\sin(x^2)}{\sin^2 x}=\frac{\frac{\sin(x^2)}{x^2}}{\left(\frac{\sin x}x \right)^2} \end{eqnarray*}$

und anschließendem Grenzübergang $\begin{eqnarray*} x \to 0 \end{eqnarray*}$ zumindestens sofort sehen, was am Ende überhaupt rauskommen soll... Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.08.2012, 12:49

Till1990

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Okay, ich bin verwirrt.

1) Wo besteht bitte der Unterschied zwischen einer Taylorreihe und einer Taylordarstellung, das kam in der Vorlesung nicht durch?

2) Ich habe meine beiden Reihen mal ausgeschrieben für die ersten 5 Glieder und konnte sie für x gegen 0 abschätzen.
Das sieht in etwa so aus:

\frac{x-\frac{x^{5} }{3} +\frac{x^{9} }{5} -\frac{x^{13} }{7} +\frac{x^{17} }{9} ... }{x+\frac{x^{6} }{9} +\frac{x^{10} }{25} +\frac{x^{14} }{49} +\frac{x^{18} }{81} ... } = 1-\frac{3}{x} + \frac{5}{x} - \frac{7}{x} +\frac{9}{x} ... = 1 \pm 0

29.08.2012, 12:51

Till1990

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Ich glaub, ich brauche mal ne Schulung für diesen Editor. In der Vorschau sieht es noch so aus wie das was ich ausdrücken möcht und dann nur noch Quark. traurig

traurig

29.08.2012, 13:17

HAL 9000

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Don't panic
Eigentlich fehlt nur das [ latex]...[/latex]-Paar rundrum;

$\begin{eqnarray*} \frac{x-\frac{x^{5} }{3} +\frac{x^{9} }{5} -\frac{x^{13} }{7} +\frac{x^{17} }{9} ... }{x+\frac{x^{6} }{9} +\frac{x^{10} }{25} +\frac{x^{14} }{49} +\frac{x^{18} }{81} ... } = 1-\frac{3}{x} + \frac{5}{x} - \frac{7}{x} +\frac{9}{x} ... = 1 \pm 0 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

Allerdings packt mich inhaltlich das kalte Grausen: Ich hatte eigentlich schon oben gesagt, dass man nicht einfach gliedweise quadrieren darf - dasselbe trifft auf das Dividieren zu!!!

In dem Zusammenhang muss ich mich für meinen eigenen Fehler oben entschuldigen: Hier

Zitat:

Original von HAL 9000
Möglich wäre

$\begin{eqnarray*} \sin^2(x) = \left( \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \right)^2 \end{eqnarray*}$

hätte es natürlich

$\begin{eqnarray*} \sin^2(x) = \left( \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \right)^2 \end{eqnarray*}$

heißen müssen. Hammer

Hammer

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29.08.2012, 17:29

Till1990

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Also ich trete immer noch gewaltig auf der Stelle.

Ich habe die Funktion mal in einem Plotter zeichnen lassen und konnte den Grenzwert für x=0 mit 1 bestimmen. Jetzt habe ich jedoch schon einiges probiert und komme immer auf 0.

z.B. habe ich mit l'Hospital gerechnet

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> \lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{2x cos(x^{2}) }{2sin(x)cos(x)} = \frac{0}{2}= 0 <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Also entweder hat mich der Plotter belogen oder mein mathematische Geschick lässt mich im Stich.

29.08.2012, 17:39

EinGast

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Zitat:

Original von Till1990

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{2x cos(x^{2}) }{2sin(x)cos(x)} = \frac{0}{2}<br /> \end{eqnarray*}$

der Nenner konvergiert nicht gegen 2, sondern auch gegen 0

29.08.2012, 17:52

Till1990

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Zitat:

Original von Till1990
Also ich trete immer noch gewaltig auf der Stelle.

Ich habe die Funktion mal in einem Plotter zeichnen lassen und konnte den Grenzwert für x=0 mit 1 bestimmen. Jetzt habe ich jedoch schon einiges probiert und komme immer auf 0.

z.B. habe ich mit l'Hospital gerechnet

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> \lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{2x cos(x^{2}) }{2sin(x)cos(x)} = \frac{0}{2}= 0 <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Also entweder hat mich der Plotter belogen oder mein mathematische Geschick lässt mich im Stich.

Ai ai ai, da war ich etwas vorschnell... da muss ja wieder 0/0 rauskommen und im nächsten Schritt, wenn ich es wieder mit l'hospital versuche kommt 1 raus.

29.08.2012, 18:06

einGast

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richtig.
Für den Lösungsweg mit der Taylor-Entwicklung reicht es, wenn du $\begin{eqnarray*} \sin t =t+O(t^3) \end{eqnarray*}$ verwendest. Du musst dir nur noch überlegen, was dann $\begin{eqnarray*} \sin(x^2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (\sin x)^2 \end{eqnarray*}$ ist, und dann den Quotienten bilden

30.08.2012, 14:49

Till1990

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Meine Lösung
Ich habe nun folgendes gemacht:

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^{2} ) }{\sin^{2} (x) } = \frac{1-\frac{x^{4} }{3!}... }{1-\frac{x^{2} }{3!}... } = 1<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Ich habe direkt die gekürzte Version geschrieben.

30.08.2012, 14:54

HAL 9000

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Nicht, dass es für den Grenzwert wichtig wäre, aber:

Die ungekürzte Nennerreihe ist immer noch falsch, bereits im zweiten Glied. unglücklich

unglücklich

30.08.2012, 15:45

Till1990

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Also ich finde den Fehler nicht.

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> \sin(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1} }{(2n+1)!} = x-\frac{x^{3} }{3!} +\frac{x^{5} }{5!} ...<br /> <br /> \sin(x^2) = \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{(x^2)^{2n+1} }{(2n+1)!} = (x^2)^1-\frac{(x^2)^{3} }{3!} +\frac{(x^2)^{5} }{5!} ... = x^2 - \frac{x^{6} }{3!}+\frac{x^{10} }{5!}...<br /> <br /> \sin^2(x) = (\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1} }{(2n+1)!})^2 = (x-\frac{x^{3} }{3!} +\frac{x{5} }{5!} ...)*(x-\frac{x^{3} }{3!} +\frac{x{5} }{5!} ...) = x^2 - \frac{x^{4} }{3!}+\frac{x^{6} }{5!}...<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Für mich scheint es richtig zu sein.

30.08.2012, 15:51

HAL 9000

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Hier ist er, der Fehler:

Zitat:

Original von Till1990
$\begin{eqnarray*} (x-\frac{x^{3} }{3!} +\frac{x{5} }{5!} ...)*(x-\frac{x^{3} }{3!} +\frac{x{5} }{5!} ...) = x^2 - \frac{x^{4} }{3!}+\frac{x^{6} }{5!}... \end{eqnarray*}$

Was du da berechnet hast, ist lediglich

$\begin{eqnarray*} x*(x-\frac{x^{3} }{3!} +\frac{x{5} }{5!} ...) = x^2 - \frac{x^{4} }{3!}+\frac{x^{6} }{5!}... \end{eqnarray*}$

während du die anderen Gliedern einfach weggelassen hast - so geht das natürlich nicht!

Entweder du multiplizierst dieses (Cauchy-)Produkt aus, oder du wählst einen anderen Weg, z.B. das von mir oben erwähnte

$\begin{eqnarray*} \sin^2(x) = \frac{1-\cos(2x)}{2} = \frac{1-1}{2} + \frac{(2x)^2}{2\cdot 2!} - \frac{(2x)^4}{2\cdot 4!} + \frac{(2x)^6}{2\cdot 6!} - \frac{(2x)^8}{2\cdot 8!} +- \ldots = x^2 - \frac{x^4}{3} + \frac{2x^6}{45} - \frac{x^8}{315} +- \ldots \end{eqnarray*}$

31.08.2012, 10:45

Till1990

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Okay, wenn man es so sieht. =)

Ich habe es mir "einfach" gemacht, da mein Prof. in seinen Lösungen es auch so gemacht hat:

"Es ist nur das x*x interessant und daher können wir den Rest wegfallen lassen."
Damit man sieht, dass der Rest 0 ist habe ich halt ein Produkt hingeschrieben.

Ich habe aber deinen Lösungsweg benutzt. Lieber ganz richtig als nur das richtige Ergebnis.

Danke für deine/eure Hilfe

31.08.2012, 11:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von Till1990
Ich habe es mir "einfach" gemacht, da mein Prof. in seinen Lösungen es auch so gemacht hat

Sicher hat er das nicht gemacht, anscheinend ziehst du hier eine falsche Analogie. unglücklich

unglücklich

Dass man die komplette Reihenentwicklung nicht wirklich braucht, ist im Thread schon hinreichend oft betont worden - aber wenn man sie schon aufschreibt, sollte sie wenigstens richtig sein. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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