Ableitung von verketteten Funktionen

28.08.2012, 18:08	Eckmann	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung von verketteten Funktionen Hallo Leute, bin auf einige Aufgaben gestoßen, die ich nicht verstehe, oder lösen kann. 1. $\begin{eqnarray} s(t)=t^{2} \cos(ln t) \end{eqnarray}$ Diese Formel soll abgeleitet werden. Ich bin nun zu folgenden Umformungen gelangt, komme jedoch nicht auf die angegebene Lösung: $\begin{eqnarray} s'(t)=2t \cos(ln t) + t^{2} \cdot (-\sin(ln t)\frac{1}{t}) \end{eqnarray}$ Der nächste Schritt soll sein: $\begin{eqnarray} s'(t)=2t \cos(ln t) -t\sin(lnt) \end{eqnarray}$ Wie komme ich auf diese Zeile? Die zweite Aufgabe verstehe ich leider garnicht. $\begin{eqnarray} y(x) = a^{x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y'(x) = (e^{lna})^{x} \end{eqnarray}$ Hier verstehe ich schon den ersten Schritt nicht mehr :-/ Kann mir da evtl jmd helfen? Gruß Christoph
28.08.2012, 18:38	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung von verketteten Funktionen ich glaube bei der ersten siehst du den wald vor bäumen nicht - es wurde einfach nur zusammengefasst, du hast schon richtig abgeleitet. für die zweite gibts den sogenannten "trick" (bzw. ist das eig. die definition): $\begin{eqnarray} e^{x\cdot ln(a)} = a^x = ( e^{ln(a)})^x \end{eqnarray}$ (edit: also hier kannst du dir einfach merken, dass e^x und ln(x) zueinander inverse funktionen sind, also gilt $\begin{eqnarray} a = e^{ln(a)} \end{eqnarray}$ ) (das ist aber noch nicht - wies bei dir steht - die ableitung). ist dir klar wies dann weitergeht? lg
28.08.2012, 21:49	Eckmann	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh man, danke für die lösung der ersten Aufgabe :-) Beim zweiten weiß ich dann, wie es weiter geht. Wusste nicht, wie die Umformung lautet. Danke!
28.08.2012, 22:27	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine weitere Möglichkeit wäre das logarithmische implizite Ableiten. $\begin{eqnarray} \rm y=a^x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \rm ln(y)=ln(a^x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \rm ln(y)=xln(a) \end{eqnarray}$ Nun per Kettenregel ableiten, $\begin{eqnarray} \rm \frac{y'}{y}=ln(a) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \rm y'=y\cdot ln(a) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \rm y'=a^x\cdot ln(a) \end{eqnarray}$ Schönen Gruß

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