Grenzwert einer Folge

28.08.2012, 20:15

moclus

Grenzwert einer Folge

Hänge grade an dem Grenzwert dieser Folge:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{(n³+4)n^{2n-1} }{(n²+1)^{n+1} } \end{eqnarray*}$

Im Zähler und im Nenner hab ich so umgeformt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{(n³+4)n^{2n}\cdot n^{-1} }{(n²+1)^{n+1} } = \frac{\frac{(n³+4)}{n} \cdot n^{2n} }{(n²+1)^{n+1}} = \frac{(n²+\frac{4}{n})\cdot n^{2n} }{(n²+1)^n\cdot (n²+1)} \end{eqnarray*}$

jetzt will ich gerne im Nenner die $\begin{eqnarray*} n² \end{eqnarray*}$ 's wegbekommen aber weiß nicht wie ich da genau ausklammern soll ..

danke im voraus smile

28.08.2012, 21:48

original

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwert einer Folge

Zitat:

Original von moclus
Hänge grade traurig

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{(n³+4)n^{2n-1} }{(n²+1)^{n+1} } \end{eqnarray*}$

überprüfe, ob $\begin{eqnarray*} n^{2n+2} \end{eqnarray*}$

in Zähler und Nenner der Term mit dem höchsten Exponenten ist ...

Vorschlag: wenn das so ist,
dann kannst du damit kürzen und siehst dann wohl auch "grade" den Grenzwert der Folge..

.

28.08.2012, 21:56

moclus

Auf diesen Beitrag antworten »

mh gut ... aber wie kommst du denn grade auf $\begin{eqnarray*} n^{2n+2} \end{eqnarray*}$

28.08.2012, 22:12

original

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von moclus
mh gut ... aber wie kommst du denn grade auf $\begin{eqnarray*} n^{2n+2} \end{eqnarray*}$

na ja..
rechne doch einfach mal die Produkte in Zähler und Nenner aus .. Wink

28.08.2012, 22:19

moclus

Auf diesen Beitrag antworten »

ah nun weiß ich was ich zu tun hab smile

doch eins stört mich immer noch ... ich weiß nicht wie ich mit ^n im Nenner multiplizieren soll :S ... wenn ich auf jedes einzelne Glied ein ^n verpasse, kommt bei einer Probe immer was falsches raus unglücklich

28.08.2012, 22:40

original

Auf diesen Beitrag antworten »

-> es gibt die binomische Formel

$\begin{eqnarray*} (a+b)^m = a^m + ..... \end{eqnarray*}$

und es ist zB

$\begin{eqnarray*} (n^2)^{n+1}= n^{2\cdot (n+1)} = n^{2n+2} \end{eqnarray*}$

usw..

ach ja:
und wenn du dann im Nenner $\begin{eqnarray*} n^{2n+2} \end{eqnarray*}$
ausklammerst.. ->
alle n+2 Summanden - bis auf den ersten -
werden dann irgendwelche positiven Potenzen von n jeweils
in ihren Nennern stehen haben..
.

28.08.2012, 23:09

moclus

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} (n²+1)^{n+1} \neq n^{2n+2} + 1^{n+1} \end{eqnarray*}$

ich weiß das dies gilt aber irgendwie krieg ich das nicht richtig umgeformt ... wenn dort eine binomische Formel höheren Grades wär kann ich diese darstellen, aber so abstrakt ... hab ich irgendwo einen Denkfehler

28.08.2012, 23:28

original

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von moclus
$\begin{eqnarray*} (n²+1)^{n+1} \neq n^{2n+2} + 1^{n+1} \end{eqnarray*}$

ich weiß das dies gilt aber irgendwie krieg ich das nicht richtig umgeformt ...
wenn dort eine binomische Formel höheren Grades wär kann ich diese darstellen,
aber so abstrakt ... hab ich irgendwo einen Denkfehler

schreib doch mal auf : $\begin{eqnarray*} (a+b)^m = a^m + m\cdot a^{m-1} b + ....... +b^m \end{eqnarray*}$

das gibt rechts m+1 Summanden und die Hochzahlen von a werden pro Summand eins kleiner..

so
und nun setze für a= n^2 , für b= 1 und für m= n+1 ein

ok?

teile dann jeden der n+2 Summanden durch n^(2n+2)..

usw..

06.09.2012, 00:38

moclus

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \rm \lim_{n \to \infty } \frac{n^{2n+2}+\frac{4}{n}\cdot n^{2n} }{n^{2n+2} + (n+1)n^{2n+1}+...+1^{n+1} } \end{eqnarray*}$

jetzt den Faktor n mit dem höchsten Exponenten ausklammern im Zähler und im Nenner ...
dann abschätzen und 1 ist das Ergebnis

alles korrekt ?

06.09.2012, 09:37

Mork vom Ork

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Weg über die binomische Formel ist etas problematisch, da Du es ja nicht mit endlich vielen Summanden zu tun hast.

Stattdessen könntest Du einfach stumpf das $\begin{eqnarray*} n^{2n+2} \end{eqnarray*}$ jeweils in Zähler und Nenner ausklammern und rauskürzen, dann die Grenzwerte von Zähler und Nenner separat betrachten und daraus schließlich mittels Grenzwertsätzen folgern.

06.09.2012, 09:55

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwert einer Folge

Zitat:

Original von moclus
Im Zähler und im Nenner hab ich so umgeformt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{(n³+4)n^{2n}\cdot n^{-1} }{(n²+1)^{n+1} } = \frac{\frac{(n³+4)}{n} \cdot n^{2n} }{(n²+1)^{n+1}} = \frac{(n²+\frac{4}{n})\cdot n^{2n} }{(n²+1)^n\cdot (n²+1)} \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \end{eqnarray*}$ gehört am Anfang weg oder überallhin... Lehrer

Und ja, es geht auch so weiter, dass man sich auf die Umformung

$\begin{eqnarray*} \frac{n^{2n}}{(n^2+1)^n}= ((1+1/n^2)^{n^2})^{-1/n} \end{eqnarray*}$

stützt... Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Grenzwert einer Folge

Verwandte Themen