[WS] Polynominterpolation - Beispiele |
01.02.2007, 19:20 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
[WS] Polynominterpolation - Beispiele
Die Theorie befindet sich in einem eigenen Workshop. Fragen & Anregungen bitte hier posten. |
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01.02.2007, 22:54 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
1. Datensatz 1 Es seien folgende Knoten und zugehörigen Funktionswerte gegeben: Bestimme das Interpolationspolynom! |
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02.02.2007, 00:12 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
1a. Lagrange-Darstellung Gemäß der Definition erhalten wir: |
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02.02.2007, 00:52 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
1b. Newton-Darstellung Gemäß der Darstellung mit dividierten-Differenzen (Neville-Reihenfolge) erhalten wir: |
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02.02.2007, 01:24 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
1c. Monom-Darstellung diese erhalten wir entweder aus (1a) oder(1b) durch ausmultiplizieren und zusammenfassen. |
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02.02.2007, 17:27 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
2. Auslesen der Informationen aus... In diesem Abschnitt soll erläutert werden, welche weiteren Informationen in den versch. Schematas enthalten sind. |
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02.02.2007, 19:00 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
2a. Schema der dividierten Differenzen Mit dem Datensatz also: Nun bauen wir das mal Schrittweise auf, d.h. nehmen nach un nach einen Knoten hinzu. D.h. wir interpolieren immer einen Knoten mehr. Dabei ist die Reihenfolge zu beachten. . Vergleiche dazu auch die Grafik: Doch es steckt noch mehr Information in dem Schema. wir können zu jeder zusammenhängenden Knoten Auswahl das zugehörige Interpolationspolynom ablesen: Ein Knoten: Zwei Knoten: Drei Knoten: Vier Knoten: |
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03.02.2007, 02:09 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
2b. Neville-Schema Dabei bedeuten die Indizes: interpoliert die Knoten Mit dem Datensatz also: Und wieder das schon bekannte Bild: Oder in einer matlab-Variante (dabei wurden die verschiedenen Funktionswerte an der Stelle x=1 markiert): [attach]8611[/attach] |
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03.02.2007, 16:38 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
2c. Vollständiges Hornerschema Nun wollen wir das erhaltene Interpolationspolynom an der Stelle auswerten. Dabei gilt für Einmal ganz ausführlich Das ganze als vollständiges Hornerschema notiert:
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04.02.2007, 22:59 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
3. Aitken-Reihenfolge der Knoten Bei der Neville-Reihenfolge wurde das System der Knoten wie folgt erweitert: Desweiteren konnte man aus dem Schema noch die Interpolationspolynome für jede zusammenhängende Teilmenge der Knoten ablesen. Bei der Aitken-Reihenfolge werden hingegen in k zusammenhängende Knoten und ein weiterer interpoliert. Ich führe sie hier auf, weil diese Darstellung des IPs und der dividierten Differenzen z.B. bei der Hermite-Interpolation von Bedeutung sein wird. Der Beweis der folgenden Rekursionsvorschriften ist analog zu dem der Neville Reihenfolge zu führen. 3a. Dividierte Differenzen - Aitken-Reihenfolge |
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08.02.2007, 13:37 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
3b. Aitken-Schema Dabei interpoliert die Knoten und |
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16.02.2007, 12:28 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
4a. Straßenlaternen-Aufgabe Als Rechenbeispiel zur Hermiteschen-Interpolationsaufgabe soll der Klassiker der Straßenlaterne einmal gerechnet werden. Eine Straßenlaterne bestehe aus einem senkrechten Pfosten, an den ein parabelförmiger Bogen AB befestig ist, der an seinem freien Ende eine Lampe trägt. Aus technischen Gründen wird verlangt, das die beiden Enden des Bogens einen vorgegebenen Abstand (1m) über die über die Straße haben müssen und zwar und . Außerdem soll die Lampe unter einem Winkel die Straße beleuchten. Man vgl. hierzu die Abbildung. Gesucht ist die genaue Lage des parabelförmigen Bogens, so dass die oben genannten Anforderungen erfüllt sind. Lösung: Gesucht ist hier also ein Polynom mit folgenden Eigenschaften:
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16.02.2007, 13:32 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
5. Richardson-Extrapolation zum Limes Gesucht ist hier dir nicht direkt berechenbare Größe . Zur Annäherung von berechnet man für gewisse Werte , und nimmt den Wert des zugehörigen Interpolytionspolynoms zu als Schätzung für. |
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16.02.2007, 13:33 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
5a. Numerische Realisierung der l'Hospitalschen Regel Beispiel: Man setzt und berechnet einige Funktionswerte. Mit Bestimmung des IPs folgt: |
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16.02.2007, 13:33 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
5b. Numerische Differentiation Sei f eine differenzierbare Funktion, so ist ihre Ableitung wie folgt definiert (Differentialquotient): Daraus erhält man daraus die Funktion: und interessiert sich für den Wert an der Stelle h=0. Wieder ist es möglich für einen Datensatz zu erzeugen und das daraus erhaltene Interpolationspolynom an der Stelle h=0 zu extrapolieren. Aufgrund von Auslöschungseffekten wird man jedoch eher den zentralen Differenzenquotienten verwenden. |
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16.02.2007, 13:34 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
6. Shamir's Secret Sharing Wir wir gesehen haben, wird durch n paarweise verschiedene Knoten und zug. Funktionswerte (Punkte) eindeutig ein interpolierendes Polynom festgelegt. Durch 2 Punkte wird eine Gerade festgelegt, jedoch gibt es unendlich viele Polynome 2ten Grades, sie durch diese 2 Punkte verlaufen. Fügt man jedoch noch genau einen Punkt hinzu, so gibt es nur genau ein Polynom 2ten Grades. Wie kann man das für das Mehrschlüsselprinzip ausnutzen?
Vorgehensweise bei der Verteilung des Geheimnisses
Eigenschaften:
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15.09.2007, 03:50 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
7. matlab-file In der Sammlung befindet sich ein kleiner matlab Rechenknecht zur Überprüfung der verschiedenen Darstellungen des IPs zu gegebenem Datensatz und weitere Helfer zu den hier behandelten Themen. Wer nicht über matlab verfügt, kann sich hier über die Freeware GNU Octave informieren. Das file läuft auch dort. Die Plotausgabe muss jedoch angepasst werden. http://www.smileygarden.de/smilie/Computer/43.gif |
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