Matrix richtig berechnet?

29.08.2012, 11:44

freshprince689

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Matrix richtig berechnet?

Meine Frage:
Hallöchen! Ich habe mal eine kleine Frage:

Gegeben sei die Matrix X

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 3 & 7 & 3 \\ 1 & 9 & 2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Nun möchte ich daraus die Matrix X´(X´X)^-1 X erstellen...

Meine Ideen:
Mein Lösungsvorschlag:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 36,72 & 47,06 & 80,73 \\ 47,06 & 60,63 & 104,15 \\ 80,73 & 104,15 & 179,03 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

29.08.2012, 11:55

SinaniS

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RE: Matrix richtig berechnet?
Was ist denn X' ? Die zu X transponierte Matrix?

29.08.2012, 21:18

freshprince689

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RE: Matrix richtig berechnet?
X´ ist die transponierte Matrix X, genau. Schreibt man das nicht so?

Vllt. noch ein bisschen was zu diesem Sachverhalt: Die gesuchte Matrix X´(X´X)^-1 X ist die sog. Prädikatoren-Matrix, wobei das i-te Diagonalelemet der Matrix zur Berechnung des standardisierten Residuums i einer Regressionsanalyse genutzt werden kann. Dies kann bspw. zur Ausreißer-Diagnose genutzt werden.

30.08.2012, 16:00

Monoid

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RE: Matrix richtig berechnet?

Zitat:

Original von freshprince689
X´ ist die transponierte Matrix X, genau. Schreibt man das nicht so?

Vllt. noch ein bisschen was zu diesem Sachverhalt: Die gesuchte Matrix X´(X´X)^-1 X ist die sog. Prädikatoren-Matrix, wobei das i-te Diagonalelemet der Matrix zur Berechnung des standardisierten Residuums i einer Regressionsanalyse genutzt werden kann. Dies kann bspw. zur Ausreißer-Diagnose genutzt werden.

Die Transponierte schreibtman ( naach meinem Kenntnis ) so $\begin{eqnarray*} X^T \end{eqnarray*}$ .

30.08.2012, 16:20

Kasen75

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@Mathemathemathe
@freshprince689

Nach meiner Erkenntnis, kann man für die transponierte Matrix von X sowohl $\begin{eqnarray*} X^{\prime} \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} X^T \end{eqnarray*}$ schreiben.

Mit freundlichen Grüßen.

30.08.2012, 16:24

freshprince689

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RE: Matrix richtig berechnet?
ok... damit keine Verwirrung entsteht: ich suche die Matrix $\begin{eqnarray*} X^{T}(X^{T}X)^{-1}X \end{eqnarray*}$ smile

smile

bzw. wäre ich sehr dankbar, wenn ich wüsste, ob ich die richtig berechnet habe... ich müsste die Matrizen doch lediglich ganz gewöhnlich miteinander multiplizieren, oder? Also bspw. erst $\begin{eqnarray*} X^{T} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (X^{T}X)^{-1} \end{eqnarray*}$ und das Produkt daraus mit $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , stimmts??? Das würde mir schon reichen...

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31.08.2012, 11:08

freshprince689

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RE: Matrix richtig berechnet?
jetzt mal ganz doof gefragt... weiß das niemand, oder will das niemand wissen???

31.08.2012, 11:14

Che Netzer

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RE: Matrix richtig berechnet?
Also:
Ja, deine "Rechenreihenfolge" stimmt so.
Die Rechnung selbst kannst du mit dem Online Matrix Calculator überprüfen. Der kann u.a. invertieren, transponieren und multiplizieren.

Dass bisher niemand tatsächlich geantwortet hat, wundert mich aber auch...
Vielleicht haben die meisten gesehen, dass es hier schon Antworten gab und dachten, die Frage wird bereits geklärt [attach]24103[/attach]

31.08.2012, 11:40

SinaniS

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RE: Matrix richtig berechnet?
Ich hab das mal bei wolframalpha eingegeben:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=transpose%28{{5%2C8%2C6}%2C{3%2C7%2C3}%2C{1%2C9%2C2}}%29*{{5%2C8%2C6}%2C{3%2C7%2C3}%2C{1%2C9%2C2}}^%28-1%29*transpose%28{{5%2C8%2C6}%2C{3%2C7%2C3}%2C{1%2C9%2C2}}%29^%28-1%29*{{5%2C8%2C6}%2C{3%2C7%2C3}%2C{1%2C9%2C2}}

Demnach ist dein Ergebnis leider falsch.

31.08.2012, 13:09

freshprince689

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Vielen Dank erstmal für die Hilfe smile

smile

@ SinaniS - nicht persönlich gemeint, aber deine Lösung sieht auch nicht richtig aus, da die Matrix eigentlich symmetrisch sein muss. Ich glaube, du hast da eine Klammer vergessen. Ich hab jetzt mal den Online Matrix Calculator benutzt und komme auf

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 0,975 & -0,054 & -0,030 \\ -0,054 & 0,862 & -0,067 \\ -0,030 & -0,067 & 0,964 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Sieht auch nicht schlecht aus Big Laugh

Big Laugh

31.08.2012, 13:38

Che Netzer

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Bilden wir doch einfach die komponentenweise Durchschnittsmatrix Big Laugh

Big Laugh

31.08.2012, 14:13

freshprince689

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Klingt vielversprechend Big Laugh

Big Laugh

, weiß aber nicht, ob mir das bei meiner Verteidigung zum Verhängnis werden könnte Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.08.2012, 14:14

SinaniS

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Zitat:

Original von freshprince689
Vielen Dank erstmal für die Hilfe smile

smile

@ SinaniS - nicht persönlich gemeint, aber deine Lösung sieht auch nicht richtig aus, da die Matrix eigentlich symmetrisch sein muss. Ich glaube, du hast da eine Klammer vergessen.

Ja, stimmt, das Ergebnis ist Quatsch, irgendwie hat der das ^(-1) bei der transponierten Matrix nicht richtig verstanden. Ich habs nochmal versucht, jetzt kommt eine symmetrische Matrix raus, die allerdings anders ist als die, die du angegeben hast, keine Ahnung, was nun stimmt.
Falls es dich interessiert, kannst du dir das Ergebnis ja auch nochmal ansehen:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=transpose%28{{5%2C8%2C6}%2C{3%2C7%2C3}%2C{1%2C9%2C2}}%29*{{5%2C8%2C6}%2C{3%2C7%2C3}%2C{1%2C9%2C2}}^%28-1%29*%28matrixpower%28transpose%28{{5%2C8%2C6}%2C{3%2C7%2C3}%2C{1%2C9%2C2}}%29%2C-1%29%29*{{5%2C8%2C6}%2C{3%2C7%2C3}%2C{1%2C9%2C2}}

Das ist auch das gleiche Ergebnis, das ich per Hand berechnet habe, aber dem habe ich nicht getraut :-D

31.08.2012, 14:18

Che Netzer

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Bei mir mit dem Online-Rechner berechnet:
36.480 -1.493 36.770
-1.493 3.790 -0.915
36.770 -0.915 37.163

WolframAlpha traue ich gerade gar nicht.
Wenn ich transpose({{5,8,6},{3,7,3},{1,9,2}})*{{5,8,6},{3,7,3},{1,9,2}} eingebe, erhalte ich ein anderes Ergebnis als mit Klammern darum, also (transpose({{5,8,6},{3,7,3},{1,9,2}})*{{5,8,6},{3,7,3},{1,9,2}}).

31.08.2012, 14:32

SinaniS

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Zitat:

Original von Che Netzer
Bei mir mit dem Online-Rechner berechnet:
36.480 -1.493 36.770
-1.493 3.790 -0.915
36.770 -0.915 37.163

WolframAlpha traue ich gerade gar nicht.
Wenn ich transpose({{5,8,6},{3,7,3},{1,9,2}})*{{5,8,6},{3,7,3},{1,9,2}} eingebe, erhalte ich ein anderes Ergebnis als mit Klammern darum, also (transpose({{5,8,6},{3,7,3},{1,9,2}})*{{5,8,6},{3,7,3},{1,9,2}}).

Okay, das ist wirklich seltsam. Aber ich habe die Werte mal verglichen, es kommen bei wolframalpha und dem Online-Rechner, den Che benutzt hat, ganz aehnliche Dinge raus, die unterscheiden sich erst ab der 2., manchmal ab der ersten Nachkommastelle. Also gehe ich mal davon aus, dass der Online-Rehner zwischendurch gerundet hat, bei wolfram steht das Ergebnis noch exakt da. Also wird es wohl auch stimmen. Aber das ist schon eigenartig mit den Klammern ... verwirrt

verwirrt

31.08.2012, 14:38

Che Netzer

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Zitat:

Original von SinaniS
Also gehe ich mal davon aus, dass der Online-Rehner zwischendurch gerundet hat

Ja, ich habe alle Matrixmultiplikationen und Invertierungen einzeln ausgeführt.

31.08.2012, 14:52

freshprince689

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Ok, jetzt bin ich mit Excel auch darauf gekommen. Ich habe auch meinen Fehler gefunden... ich bin davon ausgegangen, dass man die Faktoren ebenfalls beliebig vertauschen kann, was, wie ich gerade feststellen musste, offensichtlich falsch ist. Mal hier abschließend ein Link zu den Rechenregeln für Matrizen:

http://www.mathe-online.at/materialien/k...echenregeln.pdf

Matrizen-Rechnung ist halt auch schon wieder 2 Jahre her bei mir ^^

Gut, das dürfte es gewesen sein smile

smile

Großen Dank an Sinanis und Che!

31.08.2012, 15:08

SinaniS

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Zitat:

Original von freshprince689
Ich habe auch meinen Fehler gefunden... ich bin davon ausgegangen, dass man die Faktoren ebenfalls beliebig vertauschen kann, was, wie ich gerade feststellen musste, offensichtlich falsch ist.

Richtig, sonst waere man ziemlich schnell auf die Einheitsmatrix gekommen ;-) Aber gut, dass du den Fehler gefunden hast!

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