Reihe auf Konvergenz überprüfen

29.08.2012, 15:13

Hapablap

Reihe auf Konvergenz überprüfen

Meine Frage:
Hallo,

also ich komme gerade leider nicht auf die Lösung und habe auch schon Kommilitonen gefragt und die kommen grade auch nicht drauf! Kann mir jemand helfen, diese Reihe auf Konvergenz zu überprüfen?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty ((5k^2+11)/(2k^4+1)) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Das Quotienten-Kriterium finde ich zu unübersichtlich. Ich habe auf das Majoranten- oder Minorantenkriterium gesetzt, komme da aber nicht weiter. Was mir zu schaffen macht, sind die 11 auf dem Bruchstrich und die 1 unter dem Bruchstrich! Ich kann beim größer / kleiner machen nicht beide los werden.

29.08.2012, 15:24

HAL 9000

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Für alle $\begin{eqnarray*} k\geq 1 \end{eqnarray*}$ kannst du locker abschätzen

$\begin{eqnarray*} \frac{5k^2+11}{2k^4+1} < \frac{5k^2+11}{2k^4} \leq \frac{5k^2+11k^2}{2k^4} = \frac{8}{k^2} \end{eqnarray*}$ .

29.08.2012, 15:34

SinaniS

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RE: Reihe auf Konvergenz überprüfen
Noch eine kurze Bemerkung: Wenn in der Reihe die Summanden aus Quotienten von Polynomen bestehen, kann man fast immer diesen "Trick" von HAL machen, sofern der Grad im Zaehler mindestens 2 kleiner ist als der Grad im Nenner. Hat man also eine Reihe
$\begin{eqnarray*} \sum _{k=0} ^\infty \frac{p(k)}{q(k)} \end{eqnarray*}$
so lassen sich die Summanden durch
$\begin{eqnarray*} \left | \frac{p(k)}{q(k)} \right | \leq \frac{a}{k^{grad(q)-grad(p)}} \end{eqnarray*}$
mit einer reellen Zahl a abschaetzen.

29.08.2012, 15:38

Hapablap

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Aber in meinem Fall beginnt k ja bei 0. Wenn ich es bei 1 beginnen lasse, muss ich der Reihe noch + 11 anhängen. Dann kann man nicht mehr in diese Richtung abschätzen. Oder versteh ich das grade falsch?

29.08.2012, 15:45

SinaniS

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Ja, du hast Recht, diese Abschaetzung kann man erst fuer k>0 machen.
Aber um eine Reihe auf Konvergenz zu ueberpruefen, kann man ja einfach endlich viele Summanden vernachlaessigen. Kann man zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} \sum _{k=1} ^\infty \frac{5k^2+11}{2k^4+1}< \infty \end{eqnarray*}$
so ist natuerlich auch
$\begin{eqnarray*} \sum _{k=0 } ^\infty \frac{5k^2+11}{2k^4+1} = 11 + \sum _{k=1} ^\infty \frac{5k^2+11}{2k^4+1}< \infty \end{eqnarray*}$

29.08.2012, 16:09

Hapablap

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Und das kann man so machen? Gibt es nicht eine "elegantere" Lösung? Also eine, die es direkt zeigt?

29.08.2012, 16:20

HAL 9000

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Wenn dich die paar Anfangsglieder bei den Konvergenzbetrachtungen so aus den Tritt bringen, dann hast du wohl was grundsätzlich nicht verstanden bei der Reihenkonvergenz - die spielen da nämlich überhaupt keine Rolle: Egal ob das erste Glied, die ersten Tausend, oder die erste Million, die sind hinsichtlich Konvergenz/Divergenz vollkommen unwichtig.

Zitat:

Original von Hapablap
Gibt es nicht eine "elegantere" Lösung?

Wie überaus erfrischend diese Leute: Selber keine Lösung finden, aber dann nach der Nennung einer schon sehr kurzen wasserdichten Lösung nach mehr "Eleganz" schreien. smile

29.08.2012, 16:29

Hapablap

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Zitat:

Original von HAL 9000
Wie überaus erfrischend diese Leute: Selber keine Lösung finden, aber dann nach der Nennung einer schon sehr kurzen wasserdichten Lösung nach mehr "Eleganz" schreien. smile

Nein, ich bin ja froh über eine Lösung! Big Laugh

Nur schreibe ich demnächst eine Nachklausur und will einfach 100%ig sicher sein bei dem was ich mach und das habe ich so eben noch nicht gesehen! Deshalb war es ja auch in Anführungsstrichen. Ich wollte damit nicht undankbar erscheinen! Augenzwinkern

Aber wenn das so ist, dass die Anfangsglieder keine Rolle spielen, wieso gibt es dann Reihen, von denen man weiß, dass sie konvergent sind, die beim Index k=1 beginnen, wie z.B. 1/k^2?

29.08.2012, 16:32

HAL 9000

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Hast du dir mal überlegt, wie sinnvoll es wäre, die Reihe über $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ beginnen zu lassen? Finger1