Konvergenzradius

29.08.2012, 18:38	fresh2	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzradius Meine Frage: Hallo leute ich hab gerade probleme bei einer Aufgabe: Bestimmen Sie alle x Element R, für welche die folgende Potenzreihen konvergieren: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(x-1)^n}{n} <br /> <br /> <br /> an = \frac{1}{n} =0 \end{eqnarray}$ Ist es so richtig das der Konvergenzradius 0 ist ? Wenn ja wie gehe ich weiter vor? Meine Ideen: gemacht
29.08.2012, 18:57	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist nicht richtig. Warum sollte $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ denn gleich null sein? Du musst hier eher $\begin{eqnarray} \frac{1}{\limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\|a_n\|}} \end{eqnarray}$ berechnen. Das ist dann dein Konvergenzradius. Gruß Shipwater
29.08.2012, 19:06	fresh2	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh das ist schlau.Dann wäre der Konvergenzradius = 1 Richtig? Wie überprüfe ich das jetzt mit dem x element R ?
29.08.2012, 19:11	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das ist richtig. Damit weißt du schon mal, dass die besagte Potenzreihe für $\begin{eqnarray} \|x-1\|<1 \end{eqnarray}$ konvergiert und für $\begin{eqnarray} \|x-1\|>1 \end{eqnarray}$ divergiert. Die $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|x-1\|=1 \end{eqnarray}$ müssen nun noch separat untersucht werden. Gruß Shipwater
29.08.2012, 19:13	fresh2	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie untersuche ich das genau?
29.08.2012, 19:14	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Einfach den entsprechenden Wert für $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ einsetzen und dann sollte es schon klar werden. Du stößt nämlich auf (hoffentlich) bekannte Reihen. Gruß Shipwater
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29.08.2012, 19:38	fresh2	Auf diesen Beitrag antworten »
Was für einen wert soll ich für x einsetzen?
29.08.2012, 20:04	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Die $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ , die die Gleichung $\begin{eqnarray} \|x-1\|=1 \end{eqnarray}$ lösen also $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x=2 \end{eqnarray}$ Gruß Shipwater
29.08.2012, 20:19	fresh2	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{(-1)^n}{n} \end{eqnarray}$ Diese reihe ist doch alternierend oder?
29.08.2012, 20:37	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, dass $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ divergiert, sollte bekannt sein. Nun musst du dir noch überlegen, ob $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n} \end{eqnarray}$ konvergiert oder divergiert? Gruß Shipwater
29.08.2012, 20:49	fresh2	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht ja für ungerade und gerade n gegen 0. Also konvergiert es?
29.08.2012, 21:38	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich fürchte du verwechselst die Konvergenz von $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty a_n \end{eqnarray}$ mit der Konvergenz von $\begin{eqnarray} (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \ldots \end{eqnarray}$ Vielleicht liest du dich erstmal wieder etwas ein. Gruß Shipwater
29.08.2012, 23:05	fresh2	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie soll es denn richtig sein?
29.08.2012, 23:15	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Was weißt du denn über die Konvergenz von Reihen? Gruß Shipwater

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