ln(cos(x)) & ln(sin(x))

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29.08.2012, 19:43	vin97	Auf diesen Beitrag antworten »
ln(cos(x)) & ln(sin(x)) Ich melde mich auch mal wieder Aus Spaß habe ich mal versucht den natürlichen Logarithmus vom Cosinus schön darzustellen und bin hier drauf gekommen: $\begin{eqnarray} x \; \epsilon \; \mathbb{R} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cos ( x ) > 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ln ( \cos ( x ) ) = \sum_{k=1}^{\infty } ( -1 )^{k} \frac{\mathrm{B}_{2k}}{2k ( 2k )!} \left ( 1 - \frac{1}{2^{2k}} \right ) ( 4 ( \| x \| \! \! \! \mod 2 \pi) )^{2k} \end{eqnarray}$ Dummerweise hänge ich beim natürlichen Logarithmus vom Sinus an dieser Stelle fest: $\begin{eqnarray} x \; \epsilon \; \mathbb{R} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sin \left ( x \right ) > 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ln ( \sin ( x ) ) = \ln ( \| x \| \! \! \! \mod 2 \pi ) + \sum_{k=1}^{\infty } ( -1 )^{k} \frac{\mathrm{B}_{2k}}{2k ( 2k )!} ( 2 ( \| x \| \! \! \! \mod 2 \pi) )^{2k} \end{eqnarray}$ Ich kriege den linken Teil einfach nicht weg. Hat da jemand einen Vorschlag? MfG ... Vin!
29.08.2012, 22:08	vin97	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir ist klar, dass man folgende Beziehung ausnutzen könnte: $\begin{eqnarray} \sin \left ( x \right ) = \cos \left ( x - \frac{\pi}{2} \right ) = \cos \left ( \frac{\pi}{2} -x \right ) \end{eqnarray}$ Doch wenn man schon so weit gekommen ist, wäre es wirklich schön, wenn man von dieser Beziehung nicht Gebrauch machen müsste, damit man sich dieses eklige Zeug spart: $\begin{eqnarray} \left \| x - \frac{\pi}{2} \right \| \! \! \! \mod 2 \pi \end{eqnarray}$
29.08.2012, 23:09	thechus	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm... ich kann dir da zwar nicht weiter helfen (auch wenn ich das gerne würde), aber mich interessiert brennend wie man drauf kommt. Besser gesagt, was für Vorkenntnisse man dazu haben muss. Ich will jetzt nicht unbedingt, dass du mir das ganze Schritt für Schritt vorrechnest... Gruß, thechus
30.08.2012, 07:37	vin97	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, das hier sollte man wissen, wenn man sich die Darstellung herleiten will: - Logarithmusregeln - Produktschreibweise vom Sinus/Cosinus - Grundlegende Kenntnisse über Sinus/Cosinus - Summe für $\begin{eqnarray} \ln(1-x) \end{eqnarray}$ (dafür braucht man die geometrische Serie und ein wenig Differential- und Integralrechnung) - Kenntnisse über das Umformen von Summen - Kenntnisse über die Riemannsche Zetafunktion, speziell die Dirichlet Reihe und die Formel für gerade natürliche Zahlen Damit hab ich es zumindest gemacht...
30.08.2012, 07:50	thechus	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, danke für die Info. Ich werde mich damit nach der Schule mal auseinandersetzen. Vielleicht fällt mir dann auch etwas für dein Problem ein Bis dann. Gruß, thechus
30.08.2012, 09:54	vin97	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok.
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30.08.2012, 18:13	vin97	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab einen neuen Ansatz, mal schauen ob es was wird...
30.08.2012, 19:35	vin97	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist definitiv möglich den linken Teil wegzukriegen bzw. alles in ungefähr der gleichen Art wie bei $\begin{eqnarray} \ln(\cos(x)) \end{eqnarray}$ unter eine Summe zu schreiben ohen dabei $\begin{eqnarray} \| x \| \! \! \! \mod 2 \pi \end{eqnarray}$ in die Taylor-Reihe vom natürlichen Logarithmus einzusetzen, was sehr trivial wäre und nicht viel bringen würde. Wenn man das Ganze allerdings allgemein für alle reellen $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ halten möchte, wird die Formel unglaublich kompliziert und lang, deshalb werde ich gleich die allgemeine Formel, die Formel, die man durch Substitution mit $\begin{eqnarray} \cos \left ( x-\frac{\pi}{2} \right ) \end{eqnarray}$ erhält und dann die allgemeine Formel aufgeteilt in zwei Formeln, die jeweils von einer bestimmten Eigenschaft von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ abhängen, posten. Schön, dass es jetzt doch funktioniert hat eine "native" Formel für $\begin{eqnarray} \ln(\sin(x)) \end{eqnarray}$ zu finden, auch wenn sie am Ende nicht viel eleganter oder einfacher ist als die triviale Variante. Naja, hätte ja sein können
30.08.2012, 22:58	vin97	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie gesagt, diese verallgemeinerte ("native") Formel, die nicht durch die Beziehung von Sinus und Kosinus zustande kam, ist sehr kompliziert und unanschaulich. Führt man hingegen eine Fallunterscheidung durch, die mit der Variable $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ zusammenhängt, sieht es schon anders aus. Offensichtlich ist die Formel, die sich durch Substitution mit $\begin{eqnarray} \cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right) \end{eqnarray}$ ergibt, viel einfacher. $\begin{eqnarray} x \; \epsilon \; \mathbb{R} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sin \left ( x \right ) > 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0^{0} := 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a = 0^{\left \| \left ( \left \| x \right \| \! \! \mod 2 \pi \right ) - 2 \right \| - \left ( \left ( \left \| x \right \| \! \! \mod 2 \pi \right ) - 2 \right )} \left ( \pi - 2 \left ( \left \| x \right \| \! \! \mod 2 \pi \right ) \right ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ln \left ( \sin \left ( x \right ) \right ) = \sum_{k=1}^{\infty } \frac{1}{k} \left ( \left ( -1 \right )^{k} \frac{\mathrm{B}_{2k}}{2 \left ( 2k \right )!} \left ( 2 \left ( a + \left ( \left \| x \right \| \! \! \! \mod 2 \pi \right ) \right ) \right )^{2k} - \left ( 1 - \left ( a + \left ( \left \| x \right \| \! \! \! \mod 2 \pi \right ) \right ) \right )^{k} \right ) \end{eqnarray}$
31.08.2012, 21:53	vin97	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist inzwischen klar, wie man auf $\begin{eqnarray} \ln(\cos(x)) \end{eqnarray}$ kommt?
02.09.2012, 20:06	vin97	Auf diesen Beitrag antworten »
Wer will, kann sich hier das PDF downloaden, in dem ich kurz und knapp erkläre wie ich auf $\begin{eqnarray} \ln (\cos(x)) \end{eqnarray}$ gekommen bin. Bloß der letzte Schritt, bei dem ich in die Summe die Funktionalgleichung der Riemannschen Zetafunktion für gerade natürliche Zahlen eingesetzt habe, fehlt. Möchte man auf $\begin{eqnarray} \ln (\sin(x)) \end{eqnarray}$ kommen, muss man fast genauso vorgehen, bloß, dass man die Variable $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ einführt, welche das Argument des Sinus, bei gleichem Ergebnis, auf eine reelle Zahl im Intervall $\begin{eqnarray} ]0;2[ \end{eqnarray}$ begrenzt. Dadurch kann man dann wieder die Taylorreihe für $\begin{eqnarray} \ln (1-x) \end{eqnarray}$ benutzen, um alles in eine Summe zu schreiben. ...Oder man führt halt die Substitution durch, was viel einfacher ist
21.11.2012, 20:50	vin97	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat man diese schönen Summendarstellungen für $\begin{eqnarray} \ln(\cos(x)) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \ln(\sin(x)) \end{eqnarray}$ (erstmal nur für $\begin{eqnarray} 0<x<\frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ ), kann man recht viel damit anstellen (z.B. erhält man durch Differenzieren die Taylorreiehn für den Kotangens und den Tangens). Setzt man dann ein paar Werte in die verschiedenen Formeln, die einem zur Verfügung stehen, ein und formt ein bißchen um, erhält man interessante (aber dafür recht unnütze) Formeln $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\zeta(2k)}{4^{k}}=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\zeta(2k)}{16^{k}}=\frac{4-\pi}{8} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\zeta(2k)}{k4^{k}}=\ln(\pi)-\ln(2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\zeta(2k)}{k16^{k}}=\ln(\pi)-\frac{3}{2}\ln(2) \end{eqnarray}$ Ich hab nicht ausprobiert, ob sich diese Formeln eignen um $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \ln(\pi) \end{eqnarray}$ schnell zu berechnen, ich vermute jedoch nicht.

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