Bernstein Bézier Form Koeffizienten finden.

29.08.2012, 21:36	toneesnightmare	Auf diesen Beitrag antworten »
Bernstein Bézier Form Koeffizienten finden. Meine Frage: Für bivariate Polynome gibt es ja die Möglichkeit sie mit Bernsteinpolynome, welche von baryzentrischen Koordinaten abhängen, darzustellen. Wenn ich nun ein bivariates Polynom habe, z.B. $\begin{eqnarray} f(x,y)=xy \end{eqnarray}$ , wie finde ich die dazu passenden Kontrollpunkte für die BB-Form? Meine Ideen: Bernsteinpolynome: $\begin{eqnarray} B_{i,j,k}^d = \frac{d!}{i! j! k!} b_1 ^i b_2^j b_3^k \end{eqnarray}$ mit baryzentrischen Koordinaten $\begin{eqnarray} b_i \end{eqnarray}$ . Die BB-Form eines bivariten Polynomes wäre dann: $\begin{eqnarray} f(x,y) = \sum_{i+j+k=d}^d c_{i,j,k} B_{i,j,k}^d \end{eqnarray}$ . Ich dachte mir für $\begin{eqnarray} d=2 \end{eqnarray}$ brauche ich ja 6 $\begin{eqnarray} c_{i,j,k} \end{eqnarray}$ . Also habe ich 6 Unbekannte, also brauche ich 6 Gleichungen. Also nehme ich 6 Testpunkte die im Definitionsbereich liegen, z.B. $\begin{eqnarray} (x,y)=(0,0) \end{eqnarray}$ , dann wäre $\begin{eqnarray} f(0,0)=00=0 == c_{2,0,0}B_{2,0,0}^2 + c_{1,0,1}B_{1,0,1}^2+...+ c_{0,0,2}B_{0,0,2}^2 \end{eqnarray}$ . Wenn ich das 6 mal mache, bekomme ich ein Gleichungssytem $\begin{eqnarray} A c = f \end{eqnarray}$ , in welchem in A die Faktoren der $\begin{eqnarray} c_{i,j,k} \end{eqnarray}$ stehen, in $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ die unbekannten $\begin{eqnarray} c_{i,j,k} \end{eqnarray}$ und in $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ jeweils die Funktionswerte der Testpunkte. Problem: Wähle ich die Testpunkte "falsch" ist A singulär und wenn es dann mal funktioniert, dann sieht die Fläche zu den Kontrollpunkten nicht ganz richtig aus. Was muss ich besser machen? Bzw. kann man die Koeffizienten nicht leichter ausrechnen? Überall finde ich jede Menge Theorie dazu, aber nirgends wie man sie dann Konkret ausrechnen kann.

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