Anfangswertproblem Potenzreihe mit Koeffizientenvergleich |
| 30.08.2012, 09:22 | 1.AVM | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Anfangswertproblem Potenzreihe mit Koeffizientenvergleich Hallo, ich möchte mich gern auf meine letzte Matheprüfung vorbereiten und stehe vor folgender Aufgabe: Vorgegeben ist das Anfangswertproblem der gewöhnlichen Differentialgleichuag zweiter Ordnung : y"(x) -xy'(x) - y(x) = 0 a0 = y(0)= 1 a1 = y'(0)= 0 (a) Geben Sie die Lösung des Anfangswertproblems in Form der Potenzreihenentwicklung(Taylorentwicklung) P(x,0) der Funktion y im Entwicklungspunkt x=0 an! Verwenden Sie hierbei die Methode des Koeffizientenvergleiches. (b) Bestimmen Sie den Konvergenzradius rp der Potenzreihe! (c) Schließen Sie aus der Potenzreihenentwicklung von P(x,0), welche explizite Gestalt die Funktion y hat. Meine Ideen: Im Unterricht haben wir es so gemacht, dass ich zu y(x) eine Potenzreihe bilde, z.b.: y(x) = a0 + a1x +a2x² + a3x³ + ... diese dann ableite zu y´(x) = a1 + 2*a2x + 3*a3x² + ... und dann nochmal ableite zu y´´(x) = 2*a2 + 6*a3x + ... und diese dann subtrahiere oder addiere. Am Ende kam dann ein Ausdruck heraus, mit dem man a1, a2, usw. berechnen konnte. Aber das ist für mich nicht die Lösung nach der Aufgabenstellung, könnt ihr mir da helfen? |
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| 30.08.2012, 09:24 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wieso nicht? Passt doch genau! |
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| 30.08.2012, 09:30 | 1.AVM | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
echt? 
und wie mache ich da jetzt weiter? also ich weiß erstens nicht, wie viele Summanden ich aufzählen muss, bzw. bis zu welcher Potenz. und wie ich diese am Ende addiere/Subtrahiere, bzw. wo ich das x noch mit multiplizieren muss? |
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| 30.08.2012, 09:36 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Betrachte doch einfach ALLE, d.h. operiere dazu mit dem Summenzeichen. Im Koeffizientenvergleich gewinnst du dadurch eine Rekursionsformel für die Koeffizienten . Schau z.B. mal, wie djguendalf bei einer anderen DGL vorgegangen ist - genauso solltest du auch vorgehen. |
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| 30.08.2012, 09:50 | 1.AVM | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das verwirrt mich jetzt leider nur noch mehr. Gelernt haben wir es mit diesem Ausdruck a0 + a1x + a2x² +a3x³ + ... für y(x). Damit wollte ich die Aufgabe lösen. Im Unterricht haben wir pauschal die ersten 5 Glieder genommen. y"(x) -xy'(x) - y(x) = 0 ich stelle die Funktion und 2 Ableitungen davon auf: y(x) = a0 + a1x +a2x² + a3x³ + ... y´(x) = a1 + 2*a2x + 3*a3x² + ... y´´(x) = 2*a2 + 6*a3x + .. bei der ersten Ableitung multipliziere ich alles nochmal mit x, weil in der Aufgabe die Rede von xy´(x) ist, nicht wahr? Und dann subtrahiere ich von der 2. Ableitung die 1. Ableitung und dann die Stammfunktion y(x)? |
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| 30.08.2012, 10:11 | 1.AVM | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok, ich habe jetzt mal gerechnet nach meinem Schema und bekomme für die ersten 3 a´s folgendes heraus: a0 = 1 (gegeben) a1 = 0 (gegeben) a2 = 1/2 a3 = 0 a4 = -1/24 a5 = 0 somit wäre die explizite Form für y: y = 1 + 0*x + 1/2 *x² + 0 * x³ - 1/24 * x^4 + 0 * x^5 kurz: y = 1 + 1/2 * x² - 1/24 x^4 und was mache ich jetzt damit? Entwicklungspunkt x = 0 heißt, ich muss für x = 0 einsetzen? dann bleibt ja die 1 übrig. wars das schon? Wie bestimme ich den Konvergenzradius? |
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| 30.08.2012, 11:34 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie willst du denn damit auf die gesamte Reihe kommen? Insbesondere wenn es um die Bestimmung des Konvergenzradius geht, sind nur endlich viele berechnete Reihenglieder leider nicht das geringste wert. Du wirst nicht darum herumkommen, die gesamte Potenzreihe zu betrachten, auch wenn du dich noch so sträubst. Schau dir doch mal das verlinkte Beispiel an, tut nicht weh... |
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| 30.08.2012, 18:59 | 1.AVM | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wie schreib ich die erste Ableitung, und die 2., als Summenausdruck? |
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| 04.09.2012, 10:55 | Rummler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
(matheboard.de/archive/498116/thread.html) |
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