Probleme bei einer Aufgabe zu symmetrischen Gruppen |
30.08.2012, 13:00 | monk123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Probleme bei einer Aufgabe zu symmetrischen Gruppen Ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe: Es seien und. Ferner sei die kleinste Zahl, so dass Beweise, dass dann gilt. Meine Ideen: Also, die kleinste Zahl ist k=1 und dass gilt, muss k aber 0 sein, denn für k ungleich 0 ist eine Permutation die i auf ein anderes Element von {1,...,n} abbildet und dadurch ungleich i ist (es sei denn sigma bezeichnet eine identische Abbildung). Jetzt habe ich aber das Problem dass k = 0 durch die Aufgabendefinition ausgeschlossen ist. Und jetzt grübele ich irgendwie rum wie ich die Aufgabe lösen könnte. Die Menge hat die Mächtigkeit k und wenn ich es richtig sehe beginnt sie bei was per definition ausgeschlossen ist, es sei denn der Exponent zählt sich hoch durch k-1, was auch das letzte Element erklären würde. Dadurch bestünde die Menge dann bei k=1 aus einem Element und zwar da stets gelten würde und dann wäre tatsächlich da keine Permutation darstellt sondern nur i nochmal "zurückliefert". Aber irgendwie bin ich nicht zufrieden damit und bevor ich jetzt weiter stundenlang drüber grübele und mich im kreis drehe ob es stimmt und wie ich es dann aufschreiben kann dass es als bewiesen gilt, dachte ich ich frage mal hier Mit freundlichen Grüßen monk |
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30.08.2012, 13:09 | DP1996 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nimm doch mal an, es wäre wobei eine natürliche Zahl ist (also dass irgendein anderes Element dieser Menge ist) und versuche, auf einen Widerspruch zu kommen. |
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30.08.2012, 14:08 | SinaniS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Probleme bei einer Aufgabe zu symmetrischen Gruppen
Nein, das ist falsch. Es gibt immer ein k>0, fuer das ist. Ein Beispiel: Sei und i=1. Dann ist . Hier waere also k=2. Ihr habt doch bestimmt gelernt, dass eine (endliche) Gruppe ist, und in jeder endlichen Gruppe hat jedes Element endliche Ordnung, das heisst, es gibt fuer jedes ein n>0 mit . Das alleine zeigt schon, dass es immer so ein k>0 geben muss, und es ist kleiner oder gleich der Ordnung n von . |
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30.08.2012, 15:23 | monk123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo ihr beiden Erstmal Danke dass ihr mir geantwortet habt =) Ich hatte durch mangelnde Kenntnis leider den total falschen Ansatz indem ich eine explizite natürliche Zahl gesucht habe die diese Bedingung erfüllt. Ich habe jetzt nochmal ein bisschen "rumgelesen" und meine jetzt verstanden zu haben auf was es ankommt: Da eine endliche Gruppe ist muss es irgendwann mal ein k geben, so dass weil ansonsten hätte sigma eine unendliche Mächtigkeit besitzt und das per definition ausgeschlossen ist. Dann muss ich noch k und j miteinander "verkuddeln" um dadurch dann n zu erhalten. Und da n eine natürliche Zahl ist und es in jeder Gruppe von natürlichen Zahlen stets ein kleinstes Element gibt wäre die Aufgabe dann gelöst. Richtig? (Das "verkuddeln" mach ich später noch und schreibs dann auch noch hier hin, ich wollte nur jetzt nochmal nachfragen ob mein jetziger Gedankengang stimmt^^) Mit freundlichen Grüßen monk123 PS: @SinaniS nee, das hatte ich noch nicht gelernt. Ich fange erst in einem Monat mit dem studieren an und bringe es mir grade selber etwas bei indem ich ein Skript "Algebraische Strukturen" durcharbeite. Da ich keine ergänzende Vorlesung also bisher gehört habe, habe ich nur das Skript und daher fehlt mir manchmal was wie zB das mit der endlichen Ordnung, auch wenns eigentlich logisch ist.. ^^ (mir fehlt da einfach noch ein bisschen die Übung das direkt zu erkennen denke ich^^ deswegen stelle ich dann hier die Fragen und kriege dann Stichworte geliefert über die ich mich weiter informieren kann und dadurch dann das "Gesamtgebilde" besser verstehe, also danke! =) Edit (jester): LaTeX repariert. |
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30.08.2012, 18:46 | DP1996 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mach einfach mal, denn das hört sich noch ein bisschen vage an. |
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30.08.2012, 22:50 | monk123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zur besseren Verständlichkeit nehme ich m als Bezeichnung für k in folgender Gleichung: Da und kann man durch auf eben jenes gesuchte k in kommen. Dabei nimmt man dann einfach das Element welches für steht als neues i und dann zeigt eben jenes betreffendes k an. Man nimmt dann einfach an dass dieses k dann gleichzeitig das kleinste ist, oder? MfG PS: Danke noch an jester für das Latex richten ^^ |
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31.08.2012, 09:58 | DP1996 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, das solltest du schon zeigen.
Du kannst noch mehr sagen: Da nur endlich viele Elemente enthält, existiert eine kleinste Zahl so, dass ist mit . Und jetzt kannst du dein Argument bringen. |
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31.08.2012, 12:35 | monk123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
k muss das kleinste sein, weil es kein größeres oder kleineres k geben kann (für ein spezielles i) welches die Bedingungen erfüllt da ab die "Elementsequenz " wieder von vorne beginnt, was auch die Menge erklärt. Nun ist aber nicht für jedes i k gleich, aber da gibt es ein kleinstes k so dass . Stimmt das jetzt? |
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01.09.2012, 10:20 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich hab das jetzt 3 mal durchgelesen, aber versteh einfach nicht, was du uns damit sagen willst... Warum ignorierst du eigentlich beharrlich die Vorschläge der Experten hier, die geduldig versuchen dich immer wieder auf "den rechten Weg zurückzubringen", sondern schlägst dich bei der ersten Gelegenheit sofort in das unwegsame Dickicht deiner eigenen krausen Gedankengänge? Dabei ist doch alles so einfach: Wie DP1996 schon gesagt hat, wenn k die kleinste Hochzahl ist, für welche es ein j<k mit gibt, so würde doch j>0 sofort auf den Widerspruch führen.. Es muss daher j=0 sein... |
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01.09.2012, 12:41 | monk123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
das lag wohl daran dass ich irgendwie dachte dass für die gleichen Bedingungen gelten wie für also dass k,j > 0 sein muss... (und dass ich mit dem zum Widerspruch führen noch so meine Probleme hab :/ ) Zu dem Widerspruch: Also dies ist ein Widerspruch weil falls wahr sein würde, k nicht das kleinste wäre? Und nicht mehr erlaubt ist? (weil ansonsten hätte man bei wieder das gleiche Problem. (aber k,j sind ja per definiton >0. Ich hab ja dann wirklich total in ne andere Richtung gedacht... Kannst du mir noch kurz erklären wieso j = 0 aber nicht <0 sein darf? (wieso also , weil die ganzen Variablen die 0 eigentlich ausschließen und deswegen bin ich jetzt etwas verwirrt noch, ansonsten ist alles klar) Danke |
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01.09.2012, 14:02 | DP1996 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zum Widerspruch:
genau. Dann Frage ich mich, wie du auf kommst: Wenn j>0 ist, ist j-1>=0. Und wenn j=0 ist, dann stimmt die Behauptung doch schon, und es wäre nichts mehr zu zeigen. Exaktes Lesen hilft auch manchmal:
Und zu der Frage, weshalb j<0 nicht sein darf: Es soll ja k der kleinste Exponent sein, für den gilt, also gibt es ein Element dieser Menge, das gleich zu ist, und der Exponent, der zu diesem Element gehört, wird als j bezeichnet. Die Einschrängung ergibt sich sofort, wenn man die Menge etwas anders hinschreibt, ich hab das oben mal gemacht. |
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02.09.2012, 07:59 | monk123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Auf bin ich gekommen indem ich für j=0 betrachtet habe. Da mir aber jetzt klar ist dass der Exponent nicht negativ sein darf, fällt das natürlich komplett weg. In deiner anderen Schreibweise für die Menge bezeichnet das n einfach eine beliebige natürliche Zahl und hat nichts mit dem n aus der Aufgabenstellung zu tun, oder? Vielen Dank nochmal für eure Hilfe und eure Geduld! |
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02.09.2012, 08:16 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hier geht es um den Unterschied zwischen freien und gebundenen Variablen... Das n aus der Aufgabenstellung ist in diesem Sinne "frei", das andere n dagegen "gebunden" (siehe auch die Beispiele dazu in obigem Link!)... Fazit: Es sind zwei verschiedene Variable... |
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02.09.2012, 08:50 | monk123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke, das kannte ich bisher noch nicht =) |
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