Vektor mit Parameter/ Lage zweier graden zueinander

30.08.2012, 20:45

frosch95

Vektor mit Parameter/ Lage zweier graden zueinander

Meine Frage:
Ich soll als Hausaufgabe die Lage der beiden Geraden zueinander untersuchen.
$\begin{eqnarray*} g:\vec{x} =\begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ -a \end{pmatrix} + r*\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h:\vec{x} =\begin{pmatrix} 2 \\ 9 \\ 2a \end{pmatrix} + s*\begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe als erstes überprüft ob Vektor u $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und Vektor v $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ linear (un)abhängig sind.
Ich sage unabhängig. Deshalb können die beiden Geraden sich nurnoch schneiden oder windschief zueinander liegen.
Um das herauszufinden muss ich jetzt doch schauen ob die Vektoren u,v und Vektor q-Vektor p linear (un)abhängig sind.
q-pist ja $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 9 \\ 2a \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ -a \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 12 \\ 3a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Wenn a jetzt 2/3 ist, dann liegt eine lineare Abhängigkeit vor und ich müsste den Schnittpunkt berechnen. Wenn a nicht 2/3 sind ist die Aufgabe erledigt.
Wie kann ich jetzt bitte a bestimmen und mein Problem lösen?

30.08.2012, 21:13

frosch95

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keiner eine idee?

30.08.2012, 21:20

original

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RE: Vektor mit Parameter/ Lage zweier graden zueinander

Zitat:

Original von frosch95
die Lage der beiden Geraden zueinander untersuchen.
$\begin{eqnarray*} g:\vec{x} =\begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ -a \end{pmatrix} + r*\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h:\vec{x} =\begin{pmatrix} 2 \\ 9 \\ 2a \end{pmatrix} + s*\begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

du hast richtig gesehen, dass die Geraden nicht parallel sein werden

aber das mit den Ortsvektoren usw -> vergiss es

wenn es einen Schnittpunkt gäbe, dann müssten r und s so gewählt werden können,
dass dafür das Gleichungssystem erfüllt wäre:

-1+6r = 2+s
-3+4r = 9+6s

-a+2r = 2a+2s

also: für welche a hat das System eine Lösung

für das gefundene a schneiden die beiden Geraden einander

für alle anderen a sind sie windschief

also mach mal: ->

.

30.08.2012, 21:31

frosch95

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ich habe die gleichungssysteme umgeformt und in einer matrix zusammengefast. die sieht dann so aus: $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 6 & -1 & 3 \\ 4 & -6 & 12 \\ 2 & -2 & 3a \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
wenn ich das in den taschenrechner eingebe, bekomme ich aber keine lösung.
kann ich einfach nur die ersten beiden gleichungen des lgs in die matrix eingeben und die lösungsmengen dann für s und r einsetzen und so a ausrechnen?

30.08.2012, 21:44

original

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Zitat:

Original von frosch95

wenn ich das in den taschenrechner eingebe, bekomme ich aber keine lösung.
kann ich einfach nur die ersten beiden gleichungen des lgs in die matrix eingeben und die lösungsmengen dann für s und r einsetzen und so a ausrechnen?

.. entsorge den Taschenrechner ..
und:
smile

... klar: aus den beiden ersten Gleichungen : wenn du da für r nd s eine Lösung findest,
dann weisst du, ass für diese beiden Werte der x- und der y-Wert bestimmt ist
(du hast den in die xy-Ebene projizierten Punkt S'(x/y/0) )

wenn nun für diese beiden Werte von r und s auch der z-Wert übereinstimmt,
dann gibt es einen Schnittpunkt S(x/y/z)

bei deinem Fall hängt das dann nur von der Wahl des Parameters a ab..

probiers:
für welches a existiert ein Schnitt?
und für welche a sind die Geraden windschief?
quak ..

30.08.2012, 21:52

frosch95

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aber der taschenrechner ist mein zweites gehirn...

aber danke für die hilfe ich hab die lösung.
der schnittpunkt liegt bei S(1/8,-9/4,-1)
Wink