Diskreter W-Raum => A = Potenzmenge (Omega) ?! |
11.07.2004, 20:58 | Sajin | Auf diesen Beitrag antworten » |
Diskreter W-Raum => A = Potenzmenge (Omega) ?! ich habe da ein Problem: Ich soll beweisen, daß daraus, daß wenn Wahrscheinlichkeitsraum (,A,P) diskret ist folgt, daß A = Potenzmenge(). [ ist Menge ,A ist sigma-Algebra, P ist Wahrscheinlichkeitsmaß] Hat jemand eine Idee, wie man diese Aufgabe angehen könnte ? Diskret bedeutet doch, daß endlich oder abzählbar unendlich ist, wie kann man eine Potenzmenge einer abzählbar unendichen Menge beweisen ? Gibts das überhaupt ? Viele Grüße, Sajin |
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11.07.2004, 21:04 | Sajin | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Diskreter W-Raum => A = Potenzmenge (Omega) ?! Registrieren vergessen |
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12.07.2004, 15:21 | Sajin | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich hatte die Aufgabe falsch verstanden, es geht nicht darum, daß daraus, daß ein Wahrscheinlichkeitsraum dikret ist A = Potenzmenge() folgt, sondern daß man A= Potenzmenge() wählen kann. Ich glaube dann eicht es aus, wenn ich zeige 1) 2) ... ? ( E ist aus A) |
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12.07.2004, 16:13 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hm, komische Aufgabe. Kann es sein, dass gezeigt werden muss, dass die Potenzmenge eine -Algebra ist? Hm, das kann´s doch eigentlich auch nicht sein. Vielleicht musst du dir nochmal den Fall anschauen, und warum da eben nicht die Potenzmenge nehmen kann, sondern sich (z.B.) auf die Borel--Algebra oder die -Algebra der Lebesgue-meßbaren Mengen beschränken muss. Gruß vom Ben Edit: Ah, ich glaube man muss zeigen, dass alle Elemente der Potenzmenge messbar sind. |
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12.07.2004, 16:50 | morbo | Auf diesen Beitrag antworten » |
fuer mich klingt die aufgabe wirklich danach dass man zeigen soll dass die potenzmenge (bei diskreten w-raeumen) eine sigma-algebra ist ... |
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12.07.2004, 17:12 | Sajin | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nach viel herumgesuche habe ich jetzt eine Lösung: Ein Wahrscheinlichkeitsraum definiert als diskret, wenn abzählbar ist UND (!) Für alle w gilt: {w} A. Wenn das nämlich der Fall ist, kann man sich über die 3. Eigentschaft der sigma-Algebra überlegen, daß man aus den Elementarereignissen durch Vereinigung ganz einfach die Potenzmenge erzeugen kann. Ich habe aber in einem Skript einen richtigen Beweis gefunden: (wegen A ist als Sigmaalgebra von Teilmengen von definiert, in der Potenzmenge sind alle Teilmengen) . Da abzählbar, ist es auch E: (dritte Eigenschaft einer sigma-Algebra) Also ist Zusammen also |
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12.07.2004, 19:07 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » |
Achso, dass der W-Raum diskret heisst, wenn sämtliche Elementarereignisse in der -Algebra sind, war mir neu. Ist vermutlich Definitionssache. Dann ist es tatsächlich richtig, dass die -Algebra die Potenzmenge sein muss, denn mit den Elementarereignissen kann man ja durch Vereinigung jede beliebige Teilmenge von erzeugen. Gruß vom Ben |
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