Diskreter W-Raum => A = Potenzmenge (Omega) ?!

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Sajin Auf diesen Beitrag antworten »
Diskreter W-Raum => A = Potenzmenge (Omega) ?!
Hallo Wink

ich habe da ein Problem: Ich soll beweisen, daß daraus, daß
wenn Wahrscheinlichkeitsraum (,A,P) diskret ist folgt, daß A = Potenzmenge().

[ ist Menge ,A ist sigma-Algebra, P ist Wahrscheinlichkeitsmaß]

Hat jemand eine Idee, wie man diese Aufgabe angehen könnte ?
Diskret bedeutet doch, daß endlich oder abzählbar unendlich ist,
wie kann man eine Potenzmenge einer abzählbar unendichen Menge
beweisen Hilfe ? Gibts das überhaupt verwirrt ?



Viele Grüße,
Sajin
Sajin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diskreter W-Raum => A = Potenzmenge (Omega) ?!
Registrieren vergessen smile
 
 
Sajin Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte die Aufgabe falsch verstanden, es geht nicht darum,
daß daraus, daß ein Wahrscheinlichkeitsraum dikret ist A = Potenzmenge()
folgt, sondern daß man A= Potenzmenge() wählen kann.

Ich glaube dann eicht es aus, wenn ich zeige
1)
2)

... ?

( E ist aus A)
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, komische Aufgabe. Kann es sein, dass gezeigt werden muss, dass die Potenzmenge eine -Algebra ist? Hm, das kann´s doch eigentlich auch nicht sein.

Vielleicht musst du dir nochmal den Fall anschauen, und warum da eben nicht die Potenzmenge nehmen kann, sondern sich (z.B.) auf die Borel--Algebra oder die -Algebra der Lebesgue-meßbaren Mengen beschränken muss.

Gruß vom Ben

Edit: Ah, ich glaube man muss zeigen, dass alle Elemente der Potenzmenge messbar sind.
morbo Auf diesen Beitrag antworten »

fuer mich klingt die aufgabe wirklich danach dass man zeigen soll dass die potenzmenge (bei diskreten w-raeumen) eine sigma-algebra ist ...
Sajin Auf diesen Beitrag antworten »

Nach viel herumgesuche habe ich jetzt eine Lösung:

Ein Wahrscheinlichkeitsraum definiert als diskret, wenn abzählbar ist UND (!) Für alle w gilt: {w} A.
Wenn das nämlich der Fall ist, kann man sich über die 3. Eigentschaft
der sigma-Algebra überlegen, daß man aus den Elementarereignissen
durch Vereinigung ganz einfach die Potenzmenge erzeugen kann.

Ich habe aber in einem Skript einen richtigen Beweis gefunden:

(wegen A ist als Sigmaalgebra von Teilmengen von definiert, in der Potenzmenge sind alle Teilmengen)

. Da abzählbar, ist es auch E:
(dritte Eigenschaft einer sigma-Algebra)

Also ist
Zusammen also
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, dass der W-Raum diskret heisst, wenn sämtliche Elementarereignisse in der -Algebra sind, war mir neu. Ist vermutlich Definitionssache. Dann ist es tatsächlich richtig, dass die -Algebra die Potenzmenge sein muss, denn mit den Elementarereignissen kann man ja durch Vereinigung jede beliebige Teilmenge von erzeugen.

Gruß vom Ben
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