Diskreter W-Raum => A = Potenzmenge (Omega) ?!

11.07.2004, 20:58	Sajin	Auf diesen Beitrag antworten »
Diskreter W-Raum => A = Potenzmenge (Omega) ?! Hallo ich habe da ein Problem: Ich soll beweisen, daß daraus, daß wenn Wahrscheinlichkeitsraum ( $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ ,A,P) diskret ist folgt, daß A = Potenzmenge( $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ ). [ $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ ist Menge ,A ist sigma-Algebra, P ist Wahrscheinlichkeitsmaß] Hat jemand eine Idee, wie man diese Aufgabe angehen könnte ? Diskret bedeutet doch, daß $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ endlich oder abzählbar unendlich ist, wie kann man eine Potenzmenge einer abzählbar unendichen Menge beweisen ? Gibts das überhaupt ? Viele Grüße, Sajin
11.07.2004, 21:04	Sajin	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diskreter W-Raum => A = Potenzmenge (Omega) ?! Registrieren vergessen
12.07.2004, 15:21	Sajin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte die Aufgabe falsch verstanden, es geht nicht darum, daß daraus, daß ein Wahrscheinlichkeitsraum dikret ist A = Potenzmenge( $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ ) folgt, sondern daß man A= Potenzmenge( $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ ) wählen kann. Ich glaube dann eicht es aus, wenn ich zeige 1) $\begin{eqnarray} {A} \subseteq {Potenzmenge(\Omega)} \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} E \in Potenzmenge(\Omega) \Rightarrow E \subseteq \Omega \end{eqnarray}$ ... ? ( E ist aus A)
12.07.2004, 16:13	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, komische Aufgabe. Kann es sein, dass gezeigt werden muss, dass die Potenzmenge eine $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra ist? Hm, das kann´s doch eigentlich auch nicht sein. Vielleicht musst du dir nochmal den Fall $\begin{eqnarray} \Omega = \mathbb R \end{eqnarray}$ anschauen, und warum da eben nicht die Potenzmenge nehmen kann, sondern sich (z.B.) auf die Borel- $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra oder die $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra der Lebesgue-meßbaren Mengen beschränken muss. Gruß vom Ben Edit: Ah, ich glaube man muss zeigen, dass alle Elemente der Potenzmenge messbar sind.
12.07.2004, 16:50	morbo	Auf diesen Beitrag antworten »
fuer mich klingt die aufgabe wirklich danach dass man zeigen soll dass die potenzmenge (bei diskreten w-raeumen) eine sigma-algebra ist ...
12.07.2004, 17:12	Sajin	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach viel herumgesuche habe ich jetzt eine Lösung: Ein Wahrscheinlichkeitsraum definiert als diskret, wenn $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ abzählbar ist UND (!) Für alle w $\begin{eqnarray} \in \Omega \end{eqnarray}$ gilt: {w} $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ A. Wenn das nämlich der Fall ist, kann man sich über die 3. Eigentschaft der sigma-Algebra überlegen, daß man aus den Elementarereignissen durch Vereinigung ganz einfach die Potenzmenge erzeugen kann. Ich habe aber in einem Skript einen richtigen Beweis gefunden: $\begin{eqnarray} \subseteq : A \subseteq Potenzmenge(\Omega) \end{eqnarray}$ (wegen A ist als Sigmaalgebra von Teilmengen von $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ definiert, in der Potenzmenge sind alle Teilmengen) $\begin{eqnarray} \supseteq : E \in Potenzmenge(\Omega) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow E \subseteq \Omega \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ abzählbar, ist es auch E: $\begin{eqnarray} E = {e1,e2,...} = \bigcup_{n}^{}{{en}} \in A \end{eqnarray}$ (dritte Eigenschaft einer sigma-Algebra) Also ist $\begin{eqnarray} Potenzmenge(\Omega) \subseteq A. \end{eqnarray}$ Zusammen also $\begin{eqnarray} Potenzmenge(\Omega) = A \end{eqnarray}$
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12.07.2004, 19:07	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, dass der W-Raum diskret heisst, wenn sämtliche Elementarereignisse in der $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra sind, war mir neu. Ist vermutlich Definitionssache. Dann ist es tatsächlich richtig, dass die $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra die Potenzmenge sein muss, denn mit den Elementarereignissen kann man ja durch Vereinigung jede beliebige Teilmenge von $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ erzeugen. Gruß vom Ben

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