Verteilungsfunktion rechtsseitig - Warum?

... $\begin{eqnarray*} F_X(t) := P(X\leq t) \end{eqnarray*}$ .

Wählt man die andere Definition $\begin{eqnarray*} F_X(t) := P(X<t) \end{eqnarray*}$ , wie es bisweilen auch vorkommt, dann ist diese andere Verteilungsfunktion tatsächlich linksseitig stetig. Augenzwinkern

01.09.2012, 16:17

bibber

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Eine Funktion $\begin{eqnarray*} F : \mathbb R \Rightarrow [0,1] \end{eqnarray*}$ hat die Eigenschaften.

....

c) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_{0}^{+} } F(x) = F(x_{0}) \end{eqnarray*}$ ist rechtsseitig stetig $\begin{eqnarray*} \forall x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Warum ist sie nicht linksseitig stetig?

03.09.2012, 11:42

bibber

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Ich habe auch nicht mit der Definition einen Ansatz. Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte. Vielen DanK

03.09.2012, 11:50

HAL 9000

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Kommen wir zum zweiten Teil des schon lange da oben stehenden Tipps:

Zitat:

Original von HAL 9000
Das folgt aus der Definition der Verteilungsfunktion im Zusammenhang mit der Stetigkeit des Wahrscheinlichkeitsmaßes.

Schon mal diesen Begriff gehört, also "Stetigkeit eines Maßes"?

03.09.2012, 21:44

bibber

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Nein habe ich noch nicht.

03.09.2012, 22:03

HAL 9000

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Das ist schlecht. Nun, diese Stetigkeitseigenschaft hat u.a. jedes endliche Maß, und damit auch jedes Wahrscheinlichkeitsmaß $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ : Es bedeutet, dass für jede monoton fallende Folge von Mengen/Ereignissen $\begin{eqnarray*} (A_n) \end{eqnarray*}$ mit Grenzwert $\begin{eqnarray*} A = \lim_{n\to\infty} A_n = \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} A_n \end{eqnarray*}$ auch

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} P(A_n) = P(A) \end{eqnarray*}$

gilt.

Nun betrachten wir für eine feste reelle Zahl $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ eine beliebige, monoton fallende Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ mit Grenzwert $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , dann gilt bei Wahl der Ereignisse $\begin{eqnarray*} A_n = [X\leq x_n] \end{eqnarray*}$ schließlich

$\begin{eqnarray*} \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} A_n = \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} [X\leq x_n] = [X\leq x] =: A \end{eqnarray*}$

und somit wegen der Stetigkeit des Maßes $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ dann

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} F_X(x_n) = \lim_{n\to\infty} P(X\leq x_n) = P(X\leq x) = F_X(x) \end{eqnarray*}$ .

Nichts anderes ist Rechtsstetigkeit.

------------------------

Es gilt zwar auch für jede monoton wachsende Folge von Mengen/Ereignissen $\begin{eqnarray*} (B_n) \end{eqnarray*}$ mit Grenzwert $\begin{eqnarray*} B = \lim_{n\to\infty} B_n = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} B_n \end{eqnarray*}$ ebenfalls

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} P(B_n) = P(B) \end{eqnarray*}$

aber wählen wir hier dann eine beliebige, streng monoton wachsende Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ mit Grenzwert $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , dann gilt bei Wahl der Ereignisse $\begin{eqnarray*} B_n = [X\leq x_n] \end{eqnarray*}$ abweichend von oben

$\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} B_n = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} [X\leq x_n] = [X < x] =: B \end{eqnarray*}$

also "nur"

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} F_X(x_n) = \lim_{n\to\infty} P(X\leq x_n) = P(X< x) \end{eqnarray*}$ ,

was rechts i.a. nicht gleich dem für Linksstetigkeit geforderten $\begin{eqnarray*} F_X(x) \end{eqnarray*}$ ist.

03.09.2012, 22:13

bibber

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Das verstehe ich noch nicht ganz

Zitat:

aber wählen wir hier dann eine beliebige, streng monoton wachsende Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ mit Grenzwert $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , dann gilt bei Wahl der Ereignisse $\begin{eqnarray*} B_n = [X\leq x_n] \end{eqnarray*}$ abweichend von oben

$\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} B_n = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} [X\leq x_n] = [X < x] =: B \end{eqnarray*}$

also "nur"

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} F_X(x_n) = \lim_{n\to\infty} P(X\leq x_n) = P(X< x) \end{eqnarray*}$ ,

was rechts i.a. nicht gleich dem für Linksstetigkeit geforderten $\begin{eqnarray*} F_X(x) \end{eqnarray*}$ ist.

B ist doch garnicht so definiert worden.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} P(X\leq x_n) = P(X< x) \end{eqnarray*}$

Und warum kommt dann das raus

$\begin{eqnarray*} P(X< x) \end{eqnarray*}$

und nicht

$\begin{eqnarray*} P([X\leq x]) \end{eqnarray*}$

03.09.2012, 22:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von bibber
B ist doch garnicht so definiert worden.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} P(X\leq x_n) = P(X< x) \end{eqnarray*}$

A ist auch nicht definiert worden - ES ERGIBT SICH SO !!! Forum Kloppe

Und zwar aus der Konvergenz der jeweils monotonen Folgen $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ .

Es ist frustrierend, wenn man sich soviel Mühe mit einem so langen Beitrag macht und dann NULL mitgedacht wird. Finger2

03.09.2012, 22:44

bibber

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Du hast dir wirklich sehr viel Mühe gemacht.
Danke schön dafür!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Ich versuche das nur alles nach zu vollziehen für meine mündliche Klausur.

Es tut mir leid, dass ich das ergebne nicht sehe.

Könntest du mir das vllt doch erklären?
Das wäre sehr nett von dir

Danke für die vielen Tipps. Nur ich hab dort noch nicht den AHA-Effekt für mich entdeckt.

03.09.2012, 22:50

HAL 9000

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Am besten du denkst mal GANZ GENAU über diese beiden Mengengrenzwerte nach:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} [X\leq x_n] = [X \leq x] \end{eqnarray*}$ für monoton fallende $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ mit Grenzwert $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} [X\leq x_n] = [X < x] \end{eqnarray*}$ für streng monoton wachsende $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ mit Grenzwert $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$

oder zurückgeführt auf Intervalle reeller Zahlen:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} (-\infty,x_n] = (-\infty,x] \end{eqnarray*}$ für monoton fallende $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ mit Grenzwert $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} (-\infty,x_n] = (-\infty,x) \end{eqnarray*}$ für streng monoton wachsende $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ mit Grenzwert $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$

DAS ist der Schlüssel zum Problem!

04.09.2012, 08:32

bibber

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Ok verstehe ich alles.

Allerdings verstehe ich nicht wirklich, warum es bei dem einen um ein offenes Intervall handelt und bei dem anderen um einen halboffenener Intervall.
Ich habe jetzt einige Beispiel selber ausgeführt und ich komme beides mal auf ein halboffenens Intervall.

Könntest du mir das vllt noch erklären?

04.09.2012, 09:14

HAL 9000

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Zitat:

Original von bibber
Allerdings verstehe ich nicht wirklich, warum es bei dem einen um ein offenes Intervall handelt und bei dem anderen um einen halboffenener Intervall.

Das ist doch das wesentliche daran - wie kannst du dann sagen, dass du "alles" verstehst? unglücklich

(a) $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist wegen $\begin{eqnarray*} x\leq x_n \end{eqnarray*}$ in allen $\begin{eqnarray*} (-\infty,x_n] \end{eqnarray*}$ enthalten, also auch im Gesamtdurchschnitt.

(b) $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist wegen $\begin{eqnarray*} x>x_n \end{eqnarray*}$ in keinem $\begin{eqnarray*} (-\infty,x_n] \end{eqnarray*}$ enthalten, also auch nicht in der Gesamtvereinigung.

So einfach ist das.

09.09.2012, 19:14

bibber

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Ok vielen vielen Dank!

Jetzt kommt eine thererotische Frage dazu.

Warum muss einen Verteilungsfunktion rechtsseitig stetig sein?

Gibt es dazu auch eine thererotische Antwort?

Das wäre noch sehr sehr nett.

Ich habe den mathematischen Beweis, aber mein Prof sagt, es muss auch ne thererotische Antwort dazu geben.

09.09.2012, 19:25

HAL 9000

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Sowas von Unaufmerksamkeit, nicht zu fassen...

Zitat:

Original von bibber
Warum muss einen Verteilungsfunktion rechtsseitig stetig sein?

Vollkommen unerotisch sage ich dazu: Hast du die ganze Zeit gepennt? Darum ging es doch die ganze Zeit, hier nochmal das wesentliche Extrakt, von ganz ganz weit oben:

Zitat:

Original von HAL 9000
Nun betrachten wir für eine feste reelle Zahl $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ eine beliebige, monoton fallende Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ mit Grenzwert $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , dann gilt bei Wahl der Ereignisse $\begin{eqnarray*} A_n = [X\leq x_n] \end{eqnarray*}$ schließlich

$\begin{eqnarray*} \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} A_n = \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} [X\leq x_n] = [X\leq x] =: A \end{eqnarray*}$

und somit wegen der Stetigkeit des Maßes $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ dann

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} F_X(x_n) = \lim_{n\to\infty} P(X\leq x_n) = P(X\leq x) = F_X(x) \end{eqnarray*}$ .

Nichts anderes ist Rechtsstetigkeit.

09.09.2012, 19:30

bibber

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Ja, da hast du recht. Aber denkst du es reicht meinem Professor wenn ich sage, es hat was mit der Steitgkeit des Maßes zu tun?

09.09.2012, 19:31

HAL 9000

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Es stand alles bereits da, ich hab jetzt sogar zu deiner faulen Bequemlichkeit nochmal das Wesentliche wiederholt. Forum Kloppe

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Verteilungsfunktion rechtsseitig - Warum?

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