Erwartungswert & Streuung

31.08.2012, 10:58

Damian93

Erwartungswert & Streuung

Meine Frage:
Eine Frage:

Beim bsp:

Beim Roulette fällt eine Kugel auf eine der 37 Zahlen: 0,1,2,...,36. Alle diese Zahlen treten mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf.
Setzt eine Spielerin/Spieler auf eine bestimmte Zahl so erhält sie/er den 36-fachen Einsatz. Andersfall ist der Einsatz verloren.
Berechne den erwartungswert des Gewinns sowie die Streeung:
Eine Spielerin spielt dreimal und setzt 10 euro aud die zahl 19

Meine Ideen:
Also ich denke mir, dass man zuerst die wahrscheinlickeit für eine Zahl ausrechnet. Das bedeutet:
eine zahl tritt mit der Wahrscheinlichkeit 1/37 auf dh.
E(G) = 3*( 10*1/37) = 0,81 euro
doch wie berechne ich die Streuung?
einfach V(G)= (10-0,81)hoch 2 *1/37 Also die Varianz ausrechnen
und dann aus dem Ergebnis die Wurzel ziehen? geht das so einfach?

31.08.2012, 11:48

HAL 9000

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Zitat:

Original von Damian93
E(G) = 3*( 10*1/37) = 0,81 euro

Du bist also der Meinung, dass du als Spieler im Mittel was gewinnst? Da verkennst du aber das Grundprinzip eines Kasinos. Augenzwinkern

31.08.2012, 11:50

Damian93

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0,81 euro verlust natürlich ^^ aber wie gehts weiter?

31.08.2012, 12:54

Damian93

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wie rechne ich diese aufgabe?

31.08.2012, 13:02

HAL 9000

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Weißt du denn, wie man generell den Erwartungswert bzw. die Varianz einer diskreten Zufallsgröße ausrechnet?

31.08.2012, 13:27

Damian93

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ja undzwar E(x) = n.p
V(x) = n-E(x)

31.08.2012, 13:39

HAL 9000

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Na das war wohl nix. unglücklich

(1) Zunächst mal solltest du das mit den drei Versuchen auf einen zurückführen:

Für $\begin{eqnarray*} S_n = \sum_{k=1}^n X_k \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} E(S_n) = \sum_{k=1}^n E(X_k) \end{eqnarray*}$ , und sind die $\begin{eqnarray*} X_1,\ldots,X_n \end{eqnarray*}$ zudem unabhängig, dann gilt auch $\begin{eqnarray*} V(S_n) = \sum_{k=1}^n V(X_k) \end{eqnarray*}$ .

Das bedeutet, dass für unabhängige, identisch verteilte $\begin{eqnarray*} X_1,\ldots,X_n \end{eqnarray*}$ die Formeln $\begin{eqnarray*} E(S_n)=nE(X_1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V(S_n)=nV(X_1) \end{eqnarray*}$ gelten.

Angewandt auf deine $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ Rouletteversuche bedeutet dies für den Gesamtgewinn $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} E(G)=3E(G_1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V(G)=3V(G_1) \end{eqnarray*}$ ist, d.h. du musst noch die Varianz $\begin{eqnarray*} V(G_1) \end{eqnarray*}$ eines einzelnen Gewinns berechnen.

(2) Für eine diskrete Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , die nur die Werte $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,\ldots \end{eqnarray*}$ annehmen kann, gilt

$\begin{eqnarray*} E(X) = \sum_k x_k\cdot P(X=x_k) \end{eqnarray*}$

Auch für Funktionen $\begin{eqnarray*} g(X) \end{eqnarray*}$ dieser Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ gilt dann ganz ähnlich

$\begin{eqnarray*} E(g(X)) = \sum_k g(x_k)\cdot P(X=x_k) \end{eqnarray*}$ ,

so z.B.

$\begin{eqnarray*} E(X^2) = \sum_k x_k^2\cdot P(X=x_k) \end{eqnarray*}$ .

Das kann man z.B. verwenden, um die Varianz dieser Zufallsgröße über $\begin{eqnarray*} V(X)= E(X^2)-(E(X))^2 \end{eqnarray*}$ zu berechnen.

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