Wahrscheinlichkeit

31.08.2012, 11:08

Damian93

Wahrscheinlichkeit

Meine Frage:
Beim Würfeln mit 2 Würfeln ist der Einsatz a. Im Falle eines Gewinns erhält man den Einsatz und außerdem
10 euro wenn man die Augensumme 12
7 euro wenn man die Augensumme 11
4 euro wenn man die Augensumme 10
2 euro wenn man die Augensumme 9 würfelt
Wie hoch muss der Einsatz a sein, damit das Spiel fair ist, das heißt weder Bank noch Spieler gewinnen?

Meine Ideen:
also was ich weiß ist:
Augensumme 12 wird mit der Wahrscheinlichkeit 1/36
Augensumme 11 2/36
Augensumme 10 3/36
Augensumme 9 4/36

Leider weiß ich nicht weiter

Bitte um hilfe

31.08.2012, 11:16

SinaniS

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Wie sieht denn der Erwartungswert aus? Das Spiel ist ja fair, wenn der Spieler (durchschnittlich) genau das wiederbekommt, was er einzahlt, also wenn der Erwartungswert a ist.

Hat der Spieler bei einer Augensumme <9 verloren?

31.08.2012, 11:18

Damian93

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unter 9 hat man verloren
aber wie sieht die Formel aus wenn ich a gegeben habe also die formel vom erwartungswert

31.08.2012, 11:36

HAL 9000

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Du musst zunächst mal die Verteilung der Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ (für "Gewinn") aufstellen:

Für Augensumme 12: $\begin{eqnarray*} P(G=10) = \frac{1}{36} \end{eqnarray*}$
...
Für Augensumme 9: $\begin{eqnarray*} P(G=2) = \frac{4}{36} \end{eqnarray*}$

Und nicht zu vergessen die Fälle, wo man verliert:

Für Augensumme 2..8: $\begin{eqnarray*} P(G=-a) = 1-\frac{1+2+3+4}{36} = \frac{26}{36} \end{eqnarray*}$

Das Spiel ist nun fair, wenn $\begin{eqnarray*} E(G)=0 \end{eqnarray*}$ ist.

31.08.2012, 11:41

Damian93

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bei mir steht bei den lösungen aber 1,69 euro für a ich weiß nicht muss man da irgendwie weiter rechnen?

31.08.2012, 11:56

SinaniS

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Den Erwartungswert berechnet man folgendermassen: Fuer jedes Ereignis ( hier gibt es die Ereignisse: Augensumme =12, Augensumme +11,..., Augensumme = 2) berechnest du den Gewinn und die Wahrscheinlichkeit und multiplizierst diese Zahlen. Also z.B.
Augensumme = 12: Gewinn: vor dem Spiel bezahlt man a, nach dem Spiel hat man a+ 10, also ist der Gewinn 10. Die Wahrscheinlichkeit fuer diese Augensumme betraegt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{36} \end{eqnarray*}$ . Hier haben wir also $\begin{eqnarray*} 10 \cdot \frac{1}{36} \end{eqnarray*}$
Das Gleiche macht man noch fuer alle anderen Augensummen. Den Erwartungswert bekommt man dann, indem man alle diese berechneten Zahlen addiert.

31.08.2012, 12:10

Damian93

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bei mir kommt immer noch nicht die richtige lösung raus

Den die Augensummen 2,3,4,5,6,7,8 kann ich auslassen den da macht man keinen Gewinn

31.08.2012, 12:14

Damian93

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ich rechne nämlich 10* 1/36 + 7* 2/36 + 4*3/36 + 2*4/36 weiter muss ich ja nicht mehr machen denn a = 0 und somit bei 0*5/36 = 0 ist ( ich verwende klammern) ^^

31.08.2012, 12:55

Damian93

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könnte sein das die lösung einfach falsch ist?

31.08.2012, 13:19

HAL 9000

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Zitat:

Original von Damian93
Den die Augensummen 2,3,4,5,6,7,8 kann ich auslassen den da macht man keinen Gewinn

Doch, du machst den Gewinn $\begin{eqnarray*} -a \end{eqnarray*}$ , d.h., du verlierst deinen Einsatz.

Anscheinend war das hier

Zitat:

Original von HAL 9000
Für Augensumme 12: $\begin{eqnarray*} P(G=10) = \frac{1}{36} \end{eqnarray*}$
...
Für Augensumme 9: $\begin{eqnarray*} P(G=2) = \frac{4}{36} \end{eqnarray*}$

Und nicht zu vergessen die Fälle, wo man verliert:

Für Augensumme 2..8: $\begin{eqnarray*} P(G=-a) = 1-\frac{1+2+3+4}{36} = \frac{26}{36} \end{eqnarray*}$

völlig für die Katz... unglücklich

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