Uneigentliches Integral

31.08.2012, 13:40

svenhk1990

Uneigentliches Integral

Mahlzeit zusammen,
inzwischen bin ich bei der Anwenund der Integralrechung angekommen.
Zu lösen ist:

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \! \frac{1}{x^2-3x+2} \, dx \end{eqnarray*}$

Als erstes hab ich die Polstellen gesucht und gefunden. (x=1 und x=2)
Jetzt hab ich die Funktion mal ein einen Fkt.plotter gegeben und nach dem Verlauf festgestellt, dass ich das Integral mit seinen Grenzen in drei Integrale zerlegen müsste.
$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to 1} \int_0^a \!\frac{1}{x^2-3x+2} \, dx +\lim_{b \to 1;{c \to 2}} \int_b^c \!\frac{1}{x^2-3x+2} \,dx +\lim_{d \to 2} \int_d^\infty \!\frac{1}{x^2-3x+2} \,dx \end{eqnarray*}$

Mein Plan war also. Ich Betrachte ein Integral von 0 bis an die Polstelle 1, ein Integral zwischen den Polstellen und das dritte von der Polstelle 2 bis ins nicht endliche.

31.08.2012, 13:44

HAL 9000

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Du kennst die Konsequenzen, wenn auch nur eins dieser uneigentlichen Integrale nicht existiert?

31.08.2012, 20:55

svenhk1990

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Konsequenz???
Ähm nein da weiß ich nichts von.
Ist den die Aufteilung/Schreibweise/Idee richtig??

02.09.2012, 18:32

svenhk1990

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Wollte mich nochmal kundig machen ob vll inzwischen jemand eine Idee hat ob ich es so lösen könnte?
verwirrt

HAL9000 hat mir leider nach seinem Hinweis nicht wieder geantwortet, daher bin ich jetzt leider sehr verunsichert ob das so funktionieren könnte!?!?!

02.09.2012, 19:10

Cheftheoretiker

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Ich weiß ehrlich gesagt garnicht warum du die Integrale überhaupt aufteilen willst? verwirrt

Bestimme doch erstmal eine Stammfunktion. Stichwort: PBZ.

03.09.2012, 09:58

svenhk1990

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Weil ich über zwei Polstellen integieren müsste.
Ich habe die Funktion einfach geplottet um mir darüber einen Überblick zu verschaffen.
An diesen Polstellen läuft meine Funktion ins nicht endlich.
Bei einer ähnlichen Aufgabe mit allerdings nur einer Polstelle wurde es auch so (mittels lim und Zerlegung) gelöst.

03.09.2012, 10:02

HAL 9000

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Naja doch. Warum die langen Reden, rechne doch zunächst mal das erste Integral

$\begin{eqnarray*} \lim_{a \nearrow 1} \int\limits_0^a \frac{1}{x^2-3x+2} ~ \dd x \end{eqnarray*}$

aus.

03.09.2012, 12:45

svenhk1990

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Also:
Ich habe eine Stammfunktion aus meiner Formelsammlung gesucht, die ich auf diesen Fall anwenden kann. Allerdings ist diese im Reellen nicht lösbar, da mehrfach die Wurzel aus -1 gezogen werden müsste.
Kann ich jetzt hieran schon etwas über die weiteren nötigen Schritte erkennen?
Sagt mir das schon dass, das Integral divergiert? verwirrt

03.09.2012, 14:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von svenhk1990
Ich habe eine Stammfunktion aus meiner Formelsammlung gesucht, die ich auf diesen Fall anwenden kann. Allerdings ist diese im Reellen nicht lösbar, da mehrfach die Wurzel aus -1 gezogen werden müsste.

Da bist du auf dem Holzweg, sowas brauchst du hier nicht. Mach doch erstmal die Partialbruchzerlegung, die hangman oben schon lange empfohlen hat.

03.09.2012, 19:41

svenhk1990

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Okay,
nach der PBZ käme ich auf:

$\begin{eqnarray*} F(x)= ln(x-2)-ln(x-1) \end{eqnarray*}$

geschockt

Sollte ich hier die Integrationsgrenzen einsetzten und erkennen, dass der ganze Ausdruck ins nicht endlich läuft?
verwirrt

03.09.2012, 21:44

HAL 9000

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Na ja doch (geht das zäh hier voran...) - wir sind damit bei

$\begin{eqnarray*} \lim_{a \nearrow 1} \int\limits_0^a \frac{1}{x^2-3x+2} ~ \dd x = \infty \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Natürlich sollten Beträge eingezogen werden:

$\begin{eqnarray*} F(x)= \ln|x-2|-\ln|x-1| \end{eqnarray*}$

04.09.2012, 10:19

svenhk1990

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$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to 1} \left[ln|x-2|-ln|x-1| \right]_{0}^{a} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das jetzt löse, sehe ich, dass der Ausdruck gegen $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ geht.

Zitat:

HAL 9000
Du kennst die Konsequenzen, wenn auch nur eins dieser uneigentlichen Integrale nicht existiert?

Ist damit jetzt gezeigt, dass eines der Integrale nicht existiert?
Bzw. folgt daraus ohne weitere Betrachtung, dass das gesamte Integral nicht existiert?
Ist die Aufgabe damit als gelöst anzusehen?

04.09.2012, 11:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von svenhk1990
Ist damit jetzt gezeigt, dass eines der Integrale nicht existiert?

Nicht nur eines - das Gesamtintegral kann damit als endlicher Wert nicht existieren. Was allenfalls evtl. noch sein könnte ist, dass das Gesamtintegral im uneigentlichen Sinne $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ wird - aber auch das nur, wenn alle anderen Teilintegrale endlich bzw. auch $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ sind. Sollte aber auch nur eines der anderen Teilintegrale $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ ergeben, dann ist das Gesamtintegral unbestimmt divergent - und genau das ist hier der Fall.

04.09.2012, 12:20

svenhk1990

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Mensch prima! Danke für die Geduld! Ich danke Dir! Freude

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