Stammfunktion(Partialbruchzerlegung)

31.08.2012, 14:22

Klösp

Stammfunktion(Partialbruchzerlegung)

Hallo,

habe versicht dieses folgendes zu lösen:
$\begin{eqnarray*} I(x)=\int_a^b \! \frac{x}{x^2+7+6} \, dx \end{eqnarray*}$

Dafür hab ich erstmal dafür gesorgt, dass im Zähler die Ableitung vom Nenner steht.

Nenner= $\begin{eqnarray*} 0,5(2x+7-7)=0,5(2x+7)+0,5*(-7)=0,5(2x+7)-3,5 \end{eqnarray*}$

Daraus ergibt sich:

= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} ln| x^2+7x+6 | -\frac{7}{2} \int_a^b \! \frac{1}{x^2+7x+6} \, dx \end{eqnarray*}$

Das Integral löse hat 2 Nullstellen im Nenner, daher löse ich es mit Partialbruchzerlegung.

$\begin{eqnarray*} x1=-1 x2=-6 .... 1=A(x+6)+B(x+1) A=1/5 B=-1/5 =\frac{1}{5}*ln| x+1 | - \frac{1}{5} *ln| x+6 | \end{eqnarray*}$

Damit ergibt sich insgesamt:

I(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} ln| x^2+7x+6 |-\frac{7}{10}*(ln| x+1 | - ln| x+6 |) \end{eqnarray*}$

Soweit so gut.

Allerdings hab ich versucht mit mit einem Ableitungsrechner zu kontrollieren. Allerdings ist das Ergebnis ziemlich anders, oder zumindestens sieht es für mich anders aus.

Deshalb die Frage:

Ist das soweit richtig wie ich die Stammfunktion gebildet habe?

31.08.2012, 14:28

Cheftheoretiker

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RE: Stammfunktion(Partialbruchzerlegung)
Ich weiß ehrlich gesagt garnicht was du dort am Anfang mit der Ableitung anstellen willst.

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{(x+1)(x+6)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+6}=\frac{0,2}{x+1}+\frac{-0,2}{x+6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \frac{0,2}{x+1}dx+\int \frac{-0,2}{x+6}dx \end{eqnarray*}$

Nun integrieren.

31.08.2012, 14:34

schultz

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du hast richtig erkannt, dass im zähler (fast) die Ableitung des Nenners steht. nun kannst du einfach den Nenner substituieren und kommst so schnell auf ein Ergebniss.ohne dich mit Partialbruchzerlegung rumschlagen zu müssen

31.08.2012, 15:02

Klösp

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RE: Stammfunktion(Partialbruchzerlegung)
Danke für die schnellen antworten

@hangman

Das ist mir nicht ganz klar, weil:

anstatt
$\begin{eqnarray*} 1=A(x+6)+B(x+1) \end{eqnarray*}$

steht doch dann da
$\begin{eqnarray*} x=A(x+6)+B(x-1) \end{eqnarray*}$

und damit ist A=0,2x und B=-0,2x

@schultz
Ich wüsste nicht wie ich das in diesem Fall hinbekommen kann.
Ich kenn das mit Substitution nur wenn der Nenner eine doppelte Nullstelle hat.

31.08.2012, 15:06

Cheftheoretiker

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RE: Stammfunktion(Partialbruchzerlegung)
Ups, da haste natürlcih recht. Das habe ich garnicht beachtet.

$\begin{eqnarray*} x=A(x+6)+B(x-1) \end{eqnarray*}$

Also nun das A und B berechnen und anschließend so weiter verfahren, wie ich es aufgeschrieben habe. Augenzwinkern

Das LGS lautet dann:

$\begin{eqnarray*} A+B=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 6A-B=0 \end{eqnarray*}$

31.08.2012, 22:17

original

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RE: Stammfunktion(Partialbruchzerlegung)

Zitat:

Original von Klösp

$\begin{eqnarray*} I(x)=\int_a^b \! \frac{x}{x^2+7+6} \, dx \end{eqnarray*}$

.............................. traurig

.
du meinst wohl dies -> $\begin{eqnarray*} I(x)=\int_a^b \! \frac{x}{x^2+7x+6} \, dx \end{eqnarray*}$

mit:
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{x^2+7x+6} = \frac{1}{5}\cdot \left(\frac{6}{x+6}-\frac{1}{x+1} \right) \end{eqnarray*}$

usw..

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