Exponentialfunktion Kurvenschar

31.08.2012, 20:53

cmate

Exponentialfunktion Kurvenschar

Hallo,

ich soll innerhalb einer Kurvendiskussion die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x)=e^{2x}-a*e^x \end{eqnarray*}$

auf Extrema untersuchen.

$\begin{eqnarray*} f'(x)=2*e^{2x}-a*e^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=2*e^{2x}-a*e^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=e^{2x}-\frac{a}{2}*e^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=e^{2x}*e^{-x}-\frac{a}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{2}=e^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(\frac{a}{2})=x \end{eqnarray*}$

Jetzt brauche ich die 2. Ableitung:

$\begin{eqnarray*} f''(x)=4e^{2x}-a*e^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(ln(\frac{a}{2})) \end{eqnarray*}$

Ab hier bekomme ich nun Probleme mit meiner mit dem Auflösen der Funktion. Ich probiers mal:

$\begin{eqnarray*} 4e^{2*ln(\frac{a}{2})}-ln(\frac{a}{2})*e^{ln(\frac{a}{2})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(\frac{a}{2})*e^{ln(\frac{a}{2})}=4*e^{2*ln(\frac{a}{2})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(\frac{a}{2})=4e^{2*ln(\frac{a}{2})}*e^{-ln(\frac{a}{2})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(\frac{a}{2})=4e^{ln(\frac{a}{2})} \end{eqnarray*}$

Sollte das bis hier richtig sein, weiss ich spätestens jetzt nicht weiter.

31.08.2012, 21:15

Kasen75

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Hallo,

warum machst du hier ein Gleichheitszeichen:

$\begin{eqnarray*} ln(\frac{a}{2})*e^{ln(\frac{a}{2})}=4*e^{2*ln(\frac{a}{2})} \end{eqnarray*}$

Willst du nicht eigentllich wissen, ob die zweite Ableitung größer oder kleiner Null wird bei Einsetzung von $\begin{eqnarray*} ln(\frac{a}{2}) \end{eqnarray*}$ für x?

Oder habe ich da etwas missverstanden?

Mit freundlichen Grüßen.

31.08.2012, 21:21

cmate

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Ja, ich will wissen ob das Ergebnis > oder < 0 ist. Die richtige Lösung dafür ist

$\begin{eqnarray*} \frac{a^2}{2} \end{eqnarray*}$

also > 0 und ich weiss nicht, wie ich da hin komme.

31.08.2012, 21:43

Kasen75

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Ausgehend von dieser Gleichung:

$\begin{eqnarray*} 4e^{2*ln(\frac{a}{2})}-a*e^{ln(\frac{a}{2})} \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht, wie du auf diese Gleichung kommst:
$\begin{eqnarray*} 4e^{2*ln(\frac{a}{2})}-ln(\frac{a}{2})*e^{ln(\frac{a}{2})} \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man schreiben (ausgehend vom ersten Ausdruck):

Edit: Klammer vergessen.
$\begin{eqnarray*} 4\Bigg(e^{ln(\frac{a}{2})} \Bigg)^2-a*e^{ln(\frac{a}{2})} \end{eqnarray*}$

Wenn man weiß, dann $\begin{eqnarray*} e^{ln(x)}=x \end{eqnarray*}$ ist, wie kann man jetzt noch umformen?

31.08.2012, 23:12

cmate

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Die von dir bemängelte Gleichung ist unsinn, insofern auch alles was danach steht. Keine Ahnung was ich mir dabei gedacht habe.

Ich hätte jetzt allerdings gedacht das ich:

$\begin{eqnarray*} 4e^{2*ln(\frac{a}{2})}-a*e^{ln(\frac{a}{2})} \end{eqnarray*}$

so schreiben kann:

$\begin{eqnarray*} 4e^{ln((\frac{a}{2})^2)}-a*e^{ln(\frac{a}{2})} \end{eqnarray*}$

In jedem Fall weiss ich an dieser Stelle nicht weiter. Zumal deine Klammer richtig gesetzt sein wird, fehlt mir wahrscheinlich etwas bei den Logarithmengesetzen.

$\begin{eqnarray*} e^{ln(x)}=x \end{eqnarray*}$

sollte man in

$\begin{eqnarray*} ln(x)=ln(x) \end{eqnarray*}$

umformen können.

31.08.2012, 23:23

Kasen75

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Ich hatte noch editiert:

$\begin{eqnarray*} 4\Bigg(e^{ln(\frac{a}{2})} \Bigg)^2-a*e^{ln(\frac{a}{2})} \end{eqnarray*}$

Jetzt zu deinem Vorschlag:

ln(x)=ln(x)

Das ist richtig. Du hast auf beiden Seiten den Logarithmus genommen.

Jetzt kann man ihn auch wieder entfernen.

x=x

Was ist den jetzt $\begin{eqnarray*} e^{ln(\frac{a}{2})} \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} e^{ln(x)}=x \end{eqnarray*}$ ist?

31.08.2012, 23:37

cmate

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Dann ist:

$\begin{eqnarray*} e^{ln(\frac{a}{2})}=\frac{a}{2} \end{eqnarray*}$

Mich bringt das in Bezug auf die gesamte Funktion noch nicht richtig weiter.

--

Ansonsten:
Deine editierte Klammer entspricht dann also der meinen?

31.08.2012, 23:52

Kasen75

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Der editiierte Beitrag entspricht leider nicht deinem Ausdruck. Im Prinzip war bei dir die Ableitung von $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} x \cdot \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ . Zumindest wenn man bei diesem Ausdruck betrachtet:
$\begin{eqnarray*} 4e^{2*ln(\frac{a}{2})}-ln(\frac{a}{2})*e^{ln(\frac{a}{2})} \end{eqnarray*}$

Jedoch ist ist die Ableitung von $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$
Dies hast du auch richtig dargestellt:
$\begin{eqnarray*} f''(x)=4e^{2x}-a*e^x \end{eqnarray*}$

Wenn man jetzt für x den Ausdruck $\begin{eqnarray*} ln(\frac{a}{2}) \end{eqnarray*}$ einsetzt kommt letztendlich dieser Ausdruck heraus:

$\begin{eqnarray*} 4\Bigg(e^{ln(\frac{a}{2})} \Bigg)^2-a*e^{ln(\frac{a}{2})} \end{eqnarray*}$

Da du herausbekommen hast, dass $\begin{eqnarray*} e^{ln(\frac{a}{2})}=\frac{a}{2} \end{eqnarray*}$ ist, kannst du ja substituieren.

31.08.2012, 23:55

cmate

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OK, ich hab dann also:

$\begin{eqnarray*} 4*(\frac{a}{2})^2-\frac{a^2}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{4a^2}{4}-\frac{a^2}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2-\frac{a^2}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{a^2}{2} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für Deine Hilfe!

31.08.2012, 23:58

Kasen75

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Perfekt.

Freut mich, dass alles klar ist. smile

Mit freundlichen Grüßen. Wink

01.09.2012, 00:16

cmate

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Jetzt muss ich doch noch mal fragen:

$\begin{eqnarray*} 4e^{2*ln(\frac{a}{2})}-a*e^{ln(\frac{a}{2})} \end{eqnarray*}$

kann ich nicht so schreiben:

$\begin{eqnarray*} 4e^{ln((\frac{a}{2})^2)}-a*e^{ln(\frac{a}{2})} \end{eqnarray*}$

sondern muss:

$\begin{eqnarray*} 4(e^{ln(\frac{a}{2})})^2-a*e^{ln(\frac{a}{2})} \end{eqnarray*}$

schreiben. In dem Fall habe ich eben doch noch ein Problem mit diesem Logarithmengesetz:

$\begin{eqnarray*} log(u^k) = k*log(u) \end{eqnarray*}$

edit:

wenn

$\begin{eqnarray*} e^{ln(\frac{a}{2})} = \frac{a}{2} \end{eqnarray*}$

ist, müssen beide Ausdrücke doch das gleiche ergeben.

01.09.2012, 00:39

Kasen75

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Zitat:

Original von cmate
Jetzt muss ich doch noch mal fragen:

$\begin{eqnarray*} 4e^{2*ln(\frac{a}{2})}-a*e^{ln(\frac{a}{2})} \end{eqnarray*}$

kann ich nicht so schreiben:

$\begin{eqnarray*} 4e^{ln((\frac{a}{2})^2)}-a*e^{ln(\frac{a}{2})} \end{eqnarray*}$

sondern muss:

$\begin{eqnarray*} 4(e^{ln(\frac{a}{2})})^2-a*e^{ln(\frac{a}{2})} \end{eqnarray*}$

schreiben.

Das ist richtig. Freude

Zitat:

wenn

$\begin{eqnarray*} e^{ln(\frac{a}{2})} = \frac{a}{2} \end{eqnarray*}$

ist, müssen beide Ausdrücke doch das gleiche ergeben.

Das ist auch richtig. Freude

Wo genau liegt jetzt dein Problem? Ist mir nicht ganz klar.

01.09.2012, 01:03

cmate

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Das war ein Missverständnis welches sich für mich aus dem Thread ergeben hatte.
Du hattest geschrieben: "Der editiierte Beitrag entspricht leider nicht deinem Ausdruck."
und ich hatte das auf eben diesen Zusammenhang bezogen.

Wenn beide Ausdrücke das gleiche ergeben, ist mir nicht klar warum die eine Schreibweise falsch ist.

01.09.2012, 01:27

Kasen75

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Dieser Ausdruck (editierte)

$\begin{eqnarray*} 4(e^{ln(\frac{a}{2})})^2-a*e^{ln(\frac{a}{2})} \end{eqnarray*}$

entspricht nicht deinem Ausdruck:

$\begin{eqnarray*} 4e^{2*ln(\frac{a}{2})}-ln(\frac{a}{2})*e^{ln(\frac{a}{2})} \end{eqnarray*}$

Der noch nicht-edititierte Ausdruck war eine falsche Umformung:

$\begin{eqnarray*} 4e^{ln((\frac{a}{2})^2)}-a*e^{ln(\frac{a}{2})} \end{eqnarray*}$

Allgemein gilt: $\begin{eqnarray*} x^{m \cdot n}= \bigg( x^m\bigg)^n \end{eqnarray*}$

Somit kommt man von

$\begin{eqnarray*} 4e^{2*ln(\frac{a}{2})} \end{eqnarray*}$

zu

$\begin{eqnarray*} 4(e^{ln(\frac{a}{2})})^2 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe ich konnte jetzt einige Missverständnisse ausräumen.

01.09.2012, 14:32

cmate

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Ich habe dann hier:

$\begin{eqnarray*} 4e^{ln((\frac{a}{2})^2)}-a*e^{ln(\frac{a}{2})} \end{eqnarray*}$

das Logarithmengesetz:

$\begin{eqnarray*} log(u^k)=k*log(u) \end{eqnarray*}$

benutzt und dabei das Potenzgesetz außer Acht gelassen.

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