Orthogonale Matrix

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djguendalf Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonale Matrix
Servus,

hab hier ne Matrix


a, N und sind element der komplexen Zahlen.

Ich soll die beiden nun so wählen, dass je eine orthogonale Matrix und eine symmetrische Matrix entsteht.

sowohl für die orthogonale als auch symmetrische würde ich die komplexe Zahl a = 2 + 0 * i wählen. Dann ist halt a = 2.
Nun versteh ich nicht was der Vorfaktor 1/N für eine Rolle spielt. Ist es nicht egal was davorsteht? Immerhin werden ja alle Elemente damit multipliziert.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Für die Symmetrie ist N in der Tat irrelevant. Aber für die Orthogonalität spielt er schon eine Rolle. Was ist denn die Bedingung für Orthogonalität?
djguendalf Auf diesen Beitrag antworten »

Die Zeilen -bzw Spaltenvektoren der Matrix müssen linear unabhängig sein bzw orthogonal zueinander sein. Oder gibt es noch eine Bedingung?
djguendalf Auf diesen Beitrag antworten »

OK, habe gerade gesehen, dass sie auch orthonormal sein müssen.

Würde ja bedeuten, dass wenn ich zwei gleiche Vektoren multipliziere , ich dabei 1 erhalten müsste. Was hier nicht der Fall ist. Das bedeutet um sie zu normieren müsste ich mit 1/|v| multiplizieren. Oder?
SinaniS Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du schon a berechnet? a ergibt sich ja aus der Bedingung "alle Zeilen/Spalten müssen orthogonal sein".

Hast du die Länge von allen drei Zeilen / Spalten berechnet? Falls ja, hast du ja sicher festgestellt, dass diese in allen Zeilen/Spalten übereinstimmt. Um diese Länge zu normieren benutzt du den Faktor 1/N vor der Matrix.

Wie muss N also gewählt werden?
djguendalf Auf diesen Beitrag antworten »

für a=2 sind die vektoren orthogonal.

Achso. Der Betrag aller Vektoren ist wurzel5. Also muss ich N = wurzel5 + 0*i wählen.
 
 
SinaniS Auf diesen Beitrag antworten »

Genau.

Edit: Sollt ihr nur eine Loesung finden? Wenn ALLE Loesungen gesucht sind, so kann fuer N jede komplexe Zahl mit Betrag = Wurzel 5 gewaehlt werden.
djguendalf Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, ja es wird nach allen gesucht.

Hm, versteh ich nicht so ganz. Komplexe Zahlen haben einen Betrag?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von SinaniS
Edit: Sollt ihr nur eine Loesung finden? Wenn ALLE Loesungen gesucht sind, so kann fuer N jede komplexe Zahl mit Betrag = Wurzel 5 gewaehlt werden.


Orthogonale Matrizen sind doch nach Konvention immer reell. Bei komplexen Matrizen spricht man ja eher von unitär.

Damit gibt es nur noch 2 Lösungen.
SinaniS Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
Orthogonale Matrizen sind doch nach Konvention immer reell. Bei komplexen Matrizen spricht man ja eher von unitär.


Stimmt, jedenfalls sagt mir Wikipedia das Gleiche. In einer Vorlesung hat der Dozent das "reell" bei uns mal weggelassen, deswegen hatte ich auch an komplexe Matrizen gedacht.

Auch wenn es jetzt nicht mehr relevant ist: Ja, auch komplexe Zahlen haben einen Betrag. Wenn man komplexe Zahlen in der komplexen Zahlenebene betrachtet, ist der Betrag der Abstand zum Ursprung, also nach Pythagoras:
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