Kurvendiskussion mit der e-Funktion als Funktionsschar

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Mathe-verstehen Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvendiskussion mit der e-Funktion als Funktionsschar
Meine Frage:
Hallo meine Lieben,
ich habe gestern von meiner Mathe-Lehrerin dies "schöne" Aufgabe bekommen, welche ich nun erledigen soll.
Ich komme damit aber leider nciht so zu recht und bitte deswegen um Hilfe.

Gegeben ist die durch f(x)=(x+t)*e^(?x), tER definierte Funktionsschar.

a) Bestimmen sie das lokale Extremum , den Wendepunkt und die Gleichung der Asymptoten.

b) Zeichnen sie den Graphen für t=3 im Bereich [-3;3] und den Graphen t=1 im Bereich [-1,5;3] in ein Koordinatensystem.

c) Die beiden Graphen von f1 und f3, die x-Achse und die Gerade mit der Gleichung x=z (z>-1) schließen eine Fläche ein. Berechnen sie die Maßzahl A(z). Existiert der Grenzwert ?

d) Zeigen sie: Für t=1 lassen sich vom Punkt p(-2/0) zwei Tangenten an den Graphen von f1 legen. Bestimmen sie die Lage der beiden Berührungspunkte.


Meine Ideen:
zu a) ich hab schon mal die Ableitungen gebildet
f´(x) = (x+t)*e^(?x)-e^(?x)
f´´(x) = (x+t)*e^(?x)-2e^(?x)
f´´´(x)= (x+t)*e^(?x)-3e^(?x)
und ich weiß, dass die Kriterien für das lokale Maximum wie folgt lauten:
f´(x) = 0 ^ f´´(x) 0
und für den Wendepunkt:
f´´(x) = 0 ^ f´´´(x) 0
--> meine Frage, wie rechne ich jetzt mit der e-Funktion weiter
und was ist eine Asymtote

zu b) das zeichnen bekomme ich hin

zu c) wenn ich eine Fläche berechnen will, muss ich doch ein Integral bilden...
muss dies von f(x)= (x+t)*e^(?x) sein
F(x)= -e^(?x)*(x+t+1)
--> wie muss ich jetzt weitervorgehen?

zu d) gut, dahab ich jetzt leider keine Idee mehr


Vorab schon mla vielen Dank für Hilfen
LG
Mathe-verstehen Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiß nciht, wie es passiert ist...

aber die ganzen Fragezeichen bei e^(?x) sollen Minuse sein e^(-x)

danke ;P
 
 
Mathe-verstehen Auf diesen Beitrag antworten »

also ich hab jetzt schon mal weiter gerechnet..

und ich habe eine HOchpunkt bei ( (1-t) / e^(t-1) )

stimmt der soweit...


und beim Wendepunkt, weiß ich, dass x= 2-t sein muss..
aber alleine komme ich nicht darauf

bitte um Hilfe
lg
Mathe-verstehen Auf diesen Beitrag antworten »

also ich hab jetzt raus, dass der Wendepunkt
( (2-t) / 2e^(2-+t) ) heißen muss

stimmt das?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann fangen wir mal an.



Erstmal zu den Ableitungen. Deine Ableitungen scheinen soweit nicht in Ordnung zu sein, die Ableitung von



ist



In deinen Ableitungen fehlt überall dieses Minuszeichen. Dementsprechend sind auch diese nicht korrekt.



Bitte noch einmal korrigieren.

Nun zu den Extrempunkten:

Die Bedingung



ist soweit richtig.



lässt jedoch nicht auf ein Maximum schließen wie du geschrieben hast. Somit kannst du lediglich sagen, ob es sich überhaupt um einen Extrempunkt handelt.
Es ist ein Maximum wenn die zweite Ableitung kleiner als Null ist und ein Minimum wenn es größer als Null ist.



Hier musst du eine Fallunterscheidung machen für negative und positive x-Werte, weil es ja in Abhängigkeit von t daran liegt ob es ein Hoch oder Tiefpunkt ist.


smile
Mathe-verstehen Auf diesen Beitrag antworten »

also vllt hab ich was falsch hingeschrieben

f´(x) = e^(-x) - (x+t)*e^(-x)
f´´(x) = (x+t)*e^(-x) - 2e^(-x)
f´´´(x)= 3e^(-x) - (x+t)*e^(-x)

also so stehen sie auf meinem Blatt
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

So sieht es auf jeden Fall schonmal besser aus. Ich hatte auch schon an einen Tippfehler gedacht, weil du den Extrempunkt richtig berechnet hattest, aber da du auch schon die Lösungen für den Wendepunkt hast war ich mir nicht sicher ob du das einfach abgeschrieben hattest.

smile

In der Form wie deine Ableitungen da stehen solltest du noch das e^{-x} ausklammern.

1. Vereinfacht das die Rechnungen

2. Ist dies glaubig auch gefordert. Das heißt, dass es dafür Punktabzug in einer Arbeit geben könnte. Augenzwinkern
Mathe-verstehen Auf diesen Beitrag antworten »

okay danke für den Tipp

ja ich hab beim Abschreiben wohl nicht richtig hingeschaut,
danke...

gut, dann werde ich es am ende noch machen

ich habe eine Frage bei der Asymtote
heißt es dass die gleich
y=0 wäre, weil ich nicht Zähler und Nennergrag bestimmen kann
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

y=0 ist die Asymptote das ist korrekt. Freude

Das mit Zähler und Nennergrad kann man eigentlich nur gut anwenden wenn du eine gebrochenrationale Funktion hast. Hier kannst du viel eher so argumentieren, dass für riesengroße x-Werte z.B 1.000.000



ist. (Mein Taschenrechner zeigt es so auf jeden Fall an. Asymptote bedeutet ja, dass sich die Funktion diesem Wert annähert ohne ihn jemals zu erreichen.)

Also für x gegen unendlich geht gegen Null. Und da spielt das was hinten in der Klammer steht keine Rolle mehr, weil in der Betrachtung des unendlich, wo gegen Null geht, ist die Multiplikation damit gleich Null.

Wenn du eine Asymptote berechnen möchtest kannst du meistens einfach große Zahlen in den Taschenrechner eingeben.

Also für geht f(x) gegen Null.

Was passiert wenn du hast?
Mathe-verstehen Auf diesen Beitrag antworten »

also mein Taschenrechner meint auch gegen null
also wenn ich z.b -22222 einsetzte kommt null raus
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit "mein Taschenrechner zeigt es auf jeden Fall so an" meinte ich eher so, dass es gegen Null geht, aber nicht Null ist. Egal was du für einen Wert einsetzt. Der Taschenrechner rundet natürlich irgendwann mal.
Mathe-verstehen Auf diesen Beitrag antworten »

alos geht es auch gegen null
um es mal klar zuformulieren
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »



Der Funktionsgraph hat eine Asymptote bei y=0 da für riesige x-Werte gegen Null geht und alles was man mit Null multipliziert gleich Null ist.

Anders, oder besser kann ich es nicht formulieren.
Mathe-verstehen Auf diesen Beitrag antworten »

okay danke ist verständlich

vielen dank schonmal für deine Mühe smile


was ist jetzt mit c?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist den a) soweit abgeharkt ? Auch mit Fallunterscheidung und allem drum und dran?
Mathe-verstehen Auf diesen Beitrag antworten »

ja das mit der Fallunterscheidung hab ich jetzt einfach kommentiert...
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie? Eine Fallunterscheidung in der Form ist hier eigentlich auch gar nicht nötig. Aber mit einer kleinen Rechnung bzw. dem einsetzen von 1-t in lässt sich schön zeigen, dass es sich um ein Maximum handelt, egal welchen t-Wert man einsetzt.

Hast du dies getan?
Mathe-verstehen Auf diesen Beitrag antworten »

ja das hab ich getan...
bei der zweiten Ableitung... :P
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist ja alles in Ordnung. smile

Aufgabe c)

Ich habe mal vorweg eine Frage. Ist es richtig, dass z>-1 sein muss, oder eher z<-1?

Ansonsten:

Wie sehen deine eigenen Ideen aus?
Mathe-verstehen Auf diesen Beitrag antworten »

ja bei mir auf dem Ab steht (z> -1)

ich hab nicht v iele. da ich nicht weiß, wie ich die Gleichung x=z daratellen soll
heißt das nicht einfach nur, dass die Gerade paralle zur x-Acse verläuft
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Gerade die Parallel zur x-Achse verläuft hat die Form

y=1 zum Beispiel

Eine Gerade mit der Form

x=1 zum Beispiel verläuft Parallel zur y-Achse.
Mathe-verstehen Auf diesen Beitrag antworten »

ohh stimmt... hab ich gerade verwechselt Hammer

so jetzt hab ich die Graphen gezeichnet und weiß wo die gerade verlaüft

aber wie kann ich jetzt die Maßzahl berechnen... ich kenn ja keine genauen Werte der Gerade...
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Deshalb müssen wir mit Variablen rechnen. Wir erhalten eine Fläche die von 4 Funktionen bzw. Geraden begrenzt wird.



y=0 (x-Achse)

x=z (hier haben wir ja keine genauen Werte)

Was denkst du ist obere Grenze unserer Flächenfunktion?
Mathe-verstehen Auf diesen Beitrag antworten »

alao ich würde denken 3

da ich ja nur bis diesen berecih zeichnen sollte
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. 3 ist nicht unsere obere Grenze. Unsere obere Grenze ist die Variable z. Diese Begrenzt unsere Funktion.

Was ist untere Grenze?
Müssen wir uns in unserer Berechnung um negative Integrale kümmern? Wenn nein warum nicht?
Mathe-verstehen Auf diesen Beitrag antworten »

okay also die oberste Grenze ist z
und die unsterste ist -3 weil dies der schnittpunkt von f3 mit der x-Achse ist

weil wr nciht den genauen wert der Variable z kennen
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Freude

Wie geht es weiter?
Math-vestehen Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt muss ich von der f3 f1 abziehen und das integral davon bilden
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Hört sich schon mal gut an. Wir müssen aber noch irgendwie die Begrenzung mit der x-Achse einkalkulieren, weil wir sonst auch diese Fläche mitbestimmen. Das sollen wir ja gar nicht.
Math-verstehen Auf diesen Beitrag antworten »

na waren die begrenzungen nicht -3 und z


und wie bilde ich jetzt das integral?
Mathe-verstehen Auf diesen Beitrag antworten »

das integral wäre doch dann

-2e^(-x) oder
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »



Das hier wollen wir bestimmen. Wenn du nun einfach



bestimmst dann hast du nicht die Begrenzung einberechnet, die auch unter der x-Achse verläuft.
Mathe-verstehen Auf diesen Beitrag antworten »

okay..
und wie mach ich das dann

tut mir leid wenn ich dich nerve verwirrt
Mathe-verstehen Auf diesen Beitrag antworten »

ich melde mich dann in einer halben Stunde nochmal
hoffe auf dein verständnis

muss leider jetzt schnell essen gehen

danke schonmal für alles
bis nachher

lg
Mathe-verstehen Auf diesen Beitrag antworten »

okay bin dann wieder da..
hab mich beeilt ;P
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Das was du berechnest ist die unten markierte Fläche. Wir sollen aber nur bis zur x-Achse berechnen.

Oder bin ich gerade selber verwirrt. Irgendwie stehe ich gerade aufm Schlauch. verwirrt
Mathe-verstehen Auf diesen Beitrag antworten »

mhh
also ich dachte, dass wenn man die Begrenzungen hat, immer nur bis zur x-Achse rechnet...


danke fürs Gedulden
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe es genau so berechnet wie du. Aber dann ist mir das aufgefallen. Ich bin mir gerade einwenig unsicher, weil ich nicht weiß wie ich die Fläche unterhalb der x-Achse abzuschneiden habe. verwirrt

Wenn also ein Mitleser abhilfe schaffen kann wäre das ganz gut.
Mathe-verstehen Auf diesen Beitrag antworten »

ich bin mir eig. relativ sicher, dass ich gerlernt habe, dass man nur bis zu x-Achse dann rechnet
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du es so weiterrechnest wie wir es oben stehen haben, dann kommst du in der Betrachtung des unendlichen auf eine Fläche von



Das ist die selbe Fläche die das Programm erhält und wie man sieht geht dort die Fläche nicht nur bis zur x-Achse. Deshalb bin ich gerade so verwirrt. Der Flächeninhalt sollte ja dann geringer sein. Ich habe auch schon daran gedacht die Funktionen einfach in Betragsstriche zu setzen, aber das hat auch nicht geholfen.

Hmmm.... verwirrt
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