Matrix

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djguendalf Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix
Servus,
hab die Matrix


zuerst sollte ich a so bestimmen, dass lineare abhängigkeit besteht. Dazu muss ja die Det 0 sein oder? wäre für a = 2 der Fall.

Allerdings soll ich jetzt, ohne iwelche Annahmen für a zu machen, die Eigenwerte bestimmen. Komm da aber iwie nicht weiter. Auf normalem Weg, also mit der Bestimmung eines charakteristischen Polynoms, klappt das bei mir nicht wirklich. Jemand einen Tipp?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix
Wie sieht den charakteristisches Polynom denn aus?
Nachtrag: Ist a=2 wirklich die einzige Lösung, oder gibt es noch weitere? Augenzwinkern
 
 
djguendalf Auf diesen Beitrag antworten »

- 2 vermutlich auch noch.

Seltsam sieht es aus.


was kann ich denn damit anfangen, wenn es denn richtig sein sollte. Ich verrechne mich da verhätnismäßig oft.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von djguendalf
- 2 vermutlich auch noch.
Vermutlich?
Zitat:
Original von djguendalf
Seltsam sieht es aus.


was kann ich denn damit anfangen, wenn es denn richtig sein sollte. Ich verrechne mich da verhätnismäßig oft.
Hm, kannst du mal den Rechenweg posten?
djguendalf Auf diesen Beitrag antworten »

vermutlich nicht nur vermutlich Augenzwinkern also a= +/-2

hab jetzt ein neues Polynom, weil ich beim nachrechnen nen fehler bemerkt habe. so würde es jetzt aussehen:

Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Bis dahin siehts richtig aus.

Nun kannst du dich erstmal an den Fall a=+-2 machen und den behandeln.
djguendalf Auf diesen Beitrag antworten »

Aber in der Aufgabenstellung heißt es , man solle die Eigenwerte berechnen ohne iwelche Annahmen für a zu machen. Wieso dann nun a = +/-2?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Weil das erstmal der Spezialfall ist, bei dem die Determinante Null ist. Die anderen Fälle kannst du später behandeln.
djguendalf Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Also da überall a² kommt für a=2/-2 das selbe raus.

Dann klammer ich lambda aus, hab also eine Lösung lambda = 0 und über die MNF noch zwei weitere Lösungen mit inem wurzelausdruck.
djguendalf Auf diesen Beitrag antworten »

Kann jemand noch was zu der Sache sagen?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, bisher sieht es richtig aus, ich sehe aber auch keine direkte Argumentation für den anderen fall. Wenn also jemand anderes eine Idee hat.. Augenzwinkern
zyko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von djguendalf
vermutlich nicht nur vermutlich Augenzwinkern also a= +/-2

hab jetzt ein neues Polynom, weil ich beim nachrechnen nen fehler bemerkt habe. so würde es jetzt aussehen:



Hallo
schau dir mal die linke Seite genauer an. Kannst du erkennen, dass alle drei Summanden den gleichen Faktor besitzen, woraus du den ersten Eigenwert erhältst. Der Rest liefert eine quadratische Gleichung. Damit verbleibt die Frage: Für welche a ist die qudratische Gleichung lösbar?.
djguendalf Auf diesen Beitrag antworten »

Gut also hab ich für alle a mal den Eigenwert 1.

meinst du mit quadratische Gleichung, dass wenn ich zB das (1-lambda) substituiere, ich eine Gleichung der Art (8-lamda)x² - 4x + a² erhalte?
SinaniS Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso substituieren?
Die Eigenwerte sind doch die Nullstellen des char. Polynoms, und ist ein Polynom der Form f(x)= g(x)h(x) mit Polynomen g,h, so ist f(x)=0 <=> g(x)=0 oder h(x) = 0.
Man klammert also aus, uns setzt den Rest nochmal gleich 0.
djguendalf Auf diesen Beitrag antworten »

Also sieht meine quadr. Gleichung so aus:

Setz ich die Werte nun in die MNF ein um dann einen allgemeinen Asdruck für die Eigenwerte zu erhalten, der a enthält?
SinaniS Auf diesen Beitrag antworten »

MNF sagt mir nichts. Jedenfalls berechnet man jetzt die beiden Nullstellen von diesem Polynom in Abhängigkeit von a. Dann bekommt man 3 Eigenwerte: Diese beiden Nullstellen und 1.
djguendalf Auf diesen Beitrag antworten »

MNF soll Mitternachtsformel bedeuten. Mit der bekomm ich dann ja die beiden anderen.

In der Aufgabe heißt es auch weiterhin, ob man a denn so wählen kann, dass die Matrix zwei nicht-orthogonale Eigenvekoren besitzt. Man soll dazu das Ergebnis aus den eben berechneten Werte zu Hilfe nehmen.

Wie geh ich da vor?
Mussichden Eigenwert 1 benutzen, sprich ihn in die Matrix einsetzen und dann im Gleichungssystem das a so wählen, dass zwei nicht-orthogonale Eigenvektoren dabei raus kommen?
SinaniS Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann zu jedem Eigenwert eine Basis des zugehörigen Eigenraums berechnen. Sofern alle drei Eigenwerte unterschiedlich sind hat jeder Eigenraum genau einen Basisvektor. Da muss man dann prüfen, ob die drei Vektoren alle orthogonal sind (z.B. mithilfe des Skalarproduktes). Wenn es für bestimmt Werte für a nur 2 verschiedene Eigenwerte gibt muss man gucken, ob dann ein Eigenraum eine größere Dimension als 1 hat und dann weiter überlegen.
djguendalf Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben ja eine symmetrische Matrix, was ja bedeutet, dass die Eigenvektoren immer orthogonal zueinander sind. Wie kann ich denn dann ein a wählen, dass zwei nicht orthogonale entstehen?

Ich seh grade, dass in der Aufgabe auch steht, dass wenn es nicht möglich sei, a so zu wählen, soll man dafür eine Begründung geben. Ist mein satz oben eben diese Begürndung?
SinaniS Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von djguendalf
Wir haben ja eine symmetrische Matrix, was ja bedeutet, dass die Eigenvektoren immer orthogonal zueinander sind. Wie kann ich denn dann ein a wählen, dass zwei nicht orthogonale entstehen?


Das ist doch nicht richtig, nehmen wir einfach die 2x2-Einheitsmatrix. Hier sind z.B. (1 0) und (1 1) zwei Eigenvektoren, die aber offensichtlich nicht orthogonal sind.

Sieh dir den Satz mit der symmetrischen Matrix nochmal an. Steht da vielleicht was, dass eine symmetrische nxn-Matrix mit n verschiedenen Eigenwerten diese EIgenschaft hat?
djguendalf Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt.

Ok, also muss ich einen doppelten Eigenwert finden? Wozu es dann ja zwei nicht-orthogonale Eigenvektoren gibt.
SinaniS Auf diesen Beitrag antworten »

Auch das ist nicht sofort klar. Moeglicherweise gibt es fuer bestimmte Wahlen von a nur zwei Eigenwerte, deren Eigenraeume jeweils nur Dimension 1 haben, und die dann orthogonal zueinander stehen.. Aber erstmal muss man die Zahlen a bestimmen, fuer die es nur zwei Eigenwerte gibt, genau.
djguendalf Auf diesen Beitrag antworten »

Hm. Also ich wär jetzt so vorgegangen. Ich hab ja die Ergebnisse für die 2 Eigenwerte in abhängigkeit von a. Das a steckt ja im Wurzelausdruck. Wenn der Null ergibt hätte ich ja ein Ergebnis (-b +- 0) / 2a und damit einen doppelten Eigenwert. Allerdings klappt das nicht. Unter der Wurzel steht, wenn man die Werte der Polynoms benutzt:



Wenn ich den Wurzelausdruck gleich 0 setzen will, muss ich allerdings laut meiner Rechnung die Wurzel einer negativen Zahl nehmen. Was ja nicht geht. Was mach ich falsch?
SinaniS Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist soweit richtig. Ich habe auch nicht behauptet, dass der Fall, dass man nur zwei Eigenwerte bekommt, ueberhaupt auftritt, aber ueberpruefen muss man das ja trotzdem.

Ein Fall bleibt noch zu ueberpruefen, naemlich ob der Eigenwert 1 zweimal vorkommen kann.
SinaniS Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von djguendalf
In der Aufgabe heißt es auch weiterhin, ob man a denn so wählen kann, dass die Matrix zwei nicht-orthogonale Eigenvekoren besitzt. Man soll dazu das Ergebnis aus den eben berechneten Werte zu Hilfe nehmen.


Das bringt mich gerade ein bisschen zum Schmunzeln. Steht das genau so in der Aufgabe? Ich meine, eigentlich kann man jeden x-beliebigen Eigenvektor nehmen (nicht den Nullvektor), den mit einem Skalar ungleich 0 und 1 multiplizieren, das ist dann ja wieder ein Eigenvektor, und diese beiden Eigenvektoren sind definitiv nicht orthogonal...

Das ist vermutlich in der Aufgabe nicht so gemeint, ich schaetze, eigentlich soll man untersuchen, ob es lin. unabhaengige, nicht orthogonale Eigenvektoren gibt, wie wir es ja bisher getan haben. Aber in dieser Form ist die Aufgabenstellung doch etwas komisch.
djguendalf Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, so lautet die Aufgabe ^^ aber ich nehm auch mal an, dass es nicht so gemeint ist.

Naja zweimal der Eigenwert würde ja bedeuten, dass ich unter der wurzel 49 rausbekommen müsste, denn 9-sqrt(49)=2. Im Nenner steht ja ne 2. Da ist aber wieder das Problem mit der negativen Zahl unter der Wurzel.
SinaniS Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Also: Glück gehabt, man muss keine Sonderfälle betrachten. Augenzwinkern
djguendalf Auf diesen Beitrag antworten »

spitze.

Kannst du mir vllt noch nen gefallen tun, ich hab hier bei algebra noch nen anderen Thread eröffnet, da antwortet aber keiner mehr. heißt orthogonale Matrix. eine Seite zurück, ganz oben.

Wär nett.

Aber mal danke für die Antworten hier Gott
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