Differenzierbarkeit in offenen Mengen

01.09.2012, 16:30	Jojo881	Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzierbarkeit in offenen Mengen Ich wollte wissen, ob die folgende Beziehung so stimmt. Wär super, wenn mir jemand helfen könnte und mir gegebenenfalls sagt, was nicht stimmt und warum. Danke schonmal. f: U --> V ist differenzierbar, wenn die partiellen Ableitungen in jedem Punkt x $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ U existieren und diese stetig sind. Da man für die Stetigkeit in x die Umgebung von x betrachten muss, wird U als offen vorausgesetzt, da die Ableitung von f nicht eindeutig ist. (Sie wäre nur am Rand nicht eindeutig, oder? Das heißt die partiellen Ableitungen am Rand waren nicht eindeutig und damit dann die ganze Ableitung?) lg Jojo
01.09.2012, 18:21	Jojo881	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meine natürlich, "da die Ableitung von f SONST nicht eindeutig ist."
02.09.2012, 15:57	Simmi	Auf diesen Beitrag antworten »
Man muss, wenn man sich mit diesem Thema beschäftigt aber auch wirklich ganz präzise sein. Sonst fliegt einem alles um die Ohren. Was sind denn zum Beispiel U und V? Wenn $\begin{eqnarray} U \subseteq \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ offen, $\begin{eqnarray} V= \mathbb{R} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f: U \rightarrow V \end{eqnarray}$ Dann kann man aus der Existenz und Stetigkeit der partiellen Ableitungen im Punkt $\begin{eqnarray} a \in U \end{eqnarray}$ folgern, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ total diffbar ist. Für $\begin{eqnarray} V = \mathbb{R}^m \end{eqnarray}$ wäre diese Aussage im allgemeinen falsch. Was die Offenheit betrifft: Ich würde zunächst empfehlen sich zu überlegen was alles eine offene Menge sein kann: $\begin{eqnarray} \emptyset, \mathbb{R} , (0,1) \end{eqnarray}$ sind zum Beispiel offen bezüglich $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ ist nicht offen bezüglich $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ aber offen bezüglich $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ Dementsprechend sehen Ränder auch unterschiedlich aus. Im allgemeinen besteht aber kein Problem die Ableitung auf einem Randpunkt zu bilden. Aus welchem Grund sollte Sie da denn nicht eindeutig sein? Da gibts keinen guten Grund. Wenn sie existiert dann kann sie per Definition auch nur eindeutig sein.

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