Abgeschlossene Menge lokal testen?

01.09.2012, 20:57

Grouser

Abgeschlossene Menge lokal testen?

Hi,

ich bin heute morgen auf folgende Zeilen gestoßen und komme mir dabei gerade ziemlich dämlich vor:

Eine Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eines topologischen Raumes $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist abgeschlossen genau dann, wenn es eine offene Überdeckung $\begin{eqnarray*} X = \bigcup_{i \in I} U_i \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} A \cap U_i \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i \in I \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist.

Meine bisherigen Versuche eines Beweises oder Gegenbeispieles führten leider nicht zum gewünschten Erfolg. Daher würde ich mich freuen, wenn mir jemand die Richtigkeit oder Falschheit der Aussage bestätigt und vielleicht noch einen Hinweis auf den Beweis / das Gegenbeispiel liefert.

Vielen Dank bereits im Voraus!

PS: Über die triviale Richtung brauchen wir kein Wort verlieren...

01.09.2012, 21:49

Che Netzer

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RE: Abgeschlossene Menge lokal testen?
Hallo,

wenn ich mich nicht irre, dürfte die Aussage falsch sein.
Mein Gegenbeispiel basiert auf einer Menge mit Häufungspunkt, der nicht in der Menge enthalten ist.

mfg,
Ché Netzer

01.09.2012, 23:44

Ungewiss

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Sei $\begin{eqnarray*} x\in\bar{A} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ eine Umgebung von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Es gibt ein i, so dass $\begin{eqnarray*} x\in U_i \end{eqnarray*}$ .
Es ist auch $\begin{eqnarray*} U\cap U_i \end{eqnarray*}$ eine Umgebung von x, also $\begin{eqnarray*} A\cap U \cap U_i \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ , da U beliebig und $\begin{eqnarray*} A\cap U_i \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist, muss $\begin{eqnarray*} x\in A\cap U_i \end{eqnarray*}$ , insbesondere also $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ .

Also ist A abgeschlossen.

01.09.2012, 23:50

Che Netzer

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Zitat:

Original von Ungewiss
Es gibt ein i, so dass $\begin{eqnarray*} x\in U_i \end{eqnarray*}$ .

Sollte es denn tatsächlich $\begin{eqnarray*} X=\bigcup_{i\in I}U_i \end{eqnarray*}$ heißen?
Ich hatte statt $\begin{eqnarray*} X= \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A\subseteq \end{eqnarray*}$ gerechnet.

02.09.2012, 01:38

gonnabphd

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Ungewiss hat zwar schon einen schönen Beweis gegeben. Alternativ impliziert auch $\begin{eqnarray*} A^c = \bigcup_i (U_i\setminus (U_i\cap A)) \end{eqnarray*}$ die Offenheit des Komplements von A.

02.09.2012, 11:55

Grouser

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Vielen Dank für die Hilfe und den eleganten Beweis.
Manchmal seh' ich anscheinend den Wald vor lauter Bäumen nicht Hammer

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Abgeschlossene Menge lokal testen?

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