Integral mit cos^2/(1+a*cos^2)

02.09.2012, 12:20

Unifight

Integral mit cos^2/(1+a*cos^2)

Hallo liebe Mathefreunde,

wie kann ich folgendes Integral lösen, ich rätsel jetzt schon den ganzen tag daran herum.

$\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi } \! \frac{cos^2(wt)}{1+a*cos^2(wt)} \, d(wt) \end{eqnarray*}$

Vielen Dank im Voraus,
Chris

02.09.2012, 18:13

EinGast

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RE: Integral mit cos^2/(1+a*cos^2)
zunächst kann man den Integranden etwas vereinfachen mit dem Additionstheorem

$\begin{eqnarray*} (\cos x)^2=\frac{1+\cos(2x)}{2} \end{eqnarray*}$

(so hat man kein Quadrat mehr beim Kosinus). Dann führt die Substitution von $\begin{eqnarray*} 2x \end{eqnarray*}$ auf ein Integral, das mit der Generalsubstitution lösbar ist.

03.09.2012, 11:29

Unifight

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Vielen Dank für die schnelle hilfe!

Hat mir sehr weiter geholfen, danke.

05.09.2012, 12:47

Unifight

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Nochmal eine Nachfrage,

hätte ich nicht gleich die Generalsubstitution,

$\begin{eqnarray*} cos(wt)=\frac{1-t^2}{t+t^2} \end{eqnarray*}$

quadrieren können um sie dann in folgender Form einzusetzen

$\begin{eqnarray*} cos^2(wt)=\frac{(1-t^2)^2}{(t+t^2)^2} \end{eqnarray*}$

Mfg

06.09.2012, 11:27

Unifight

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Weiß da keiner eine Antwort?

Grüße

06.09.2012, 11:46

Mystic

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Zitat:

Original von Unifight
Nochmal eine Nachfrage,

hätte ich nicht gleich die Generalsubstitution,

$\begin{eqnarray*} cos(wt)=\frac{1-t^2}{t+t^2} \end{eqnarray*}$

quadrieren können...

Vielleicht rechnen ja Generäle so, der einfache Soldat fragt sich aber: Was soll das bitte? Links steht eine Funktion, die nur Werte in [-1,1] annimmt, rechts eine, die sogar Pole hat... Mit einem Wort: Ein aufgelegter Unsinn... geschockt

06.09.2012, 12:02

Unifight

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Hast du für das Integral eine bessere Idee?

Oder noch besser könntest du mir da eine Lösung aus einer Integraltabelle angeben? Weil ich find das nämlich niergends...

Grüße

06.09.2012, 20:20

Unifight

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Hat jemand anderes vielleicht eine weitere Lösung oder einen Verbesserungsvorschlag?

Würde mich sehr darüber freuen smile

06.09.2012, 21:00

Mystic

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Wenn du mich fragst - bin aber wie gesagt kein General - so würde ich zuerst mal zur neuen Variable $\begin{eqnarray*} x=\omega t \end{eqnarray*}$ übergehen, wodurch man das Integral

$\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi} \frac{\cos^2x}{1+a\cos^2x} \, dx \end{eqnarray*}$

erhält...

Hier würde ich dann mit der Substitution

$\begin{eqnarray*} x= 2 \arctan u \end{eqnarray*}$

weitermachen und insbesondere für die Umwandlung des Integranden als Funktion von u die Formel

$\begin{eqnarray*} \cos x = \frac{1-u^2}{1+u^2} \end{eqnarray*}$

benutzen...

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