Funktion der Schnittpunkte zweier orthogonaler Kreistangenten

02.09.2012, 12:50	MarkusW1984	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion der Schnittpunkte zweier orthogonaler Kreistangenten Meine Frage: Hallo zusammen, ich habe folgendes Problem. Gegeben habe ich zwei Mittelpunkte und Radien zweier Kreise. D.h.: $\begin{eqnarray} k_1: (x-x_{m1})^2+(y-y_{m1})^2 = r_1^2,\quad k_2: (x-x_{m2})^2+(y-y_{m2})^2 = r_2^2 \end{eqnarray}$ Nun brauche ich die Funktion, die alle Schnittpunkte der Tangenten der beiden Kreise, die orthogonal zueinander sind, beinhaltet. (Es schein fast so, als wäre diese eine Ellipse) Vielleicht hilft die Skizze weiter. Über eine heutige Antwort würde ich mich sehr freuen, da dies Teil eines Uni Projektes ist Meine Ideen: Mein erster Lösungsschritt war es die Ableitung der Kreisfunktion zu bilden: $\begin{eqnarray} y_1'=\frac{x_{m1}-x}{\sqrt{r_1^2-(x_{m1}-x)^2}} \end{eqnarray}$ Dies entspricht ja der Steigung der Tangente1 Da beide Tangente senkrecht zueinander sein sollen gilt zusätzlich noch $\begin{eqnarray} y_1'\cdot y_2' = -1 \end{eqnarray}$
06.09.2012, 17:22	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ortslinie ist sicher keine Ellipse. Die allgemeine Rechnung ist ziemlich schwierig, sodass man sich einmal mit spezielleren Angaben einen Überblick verschaffen kann. Mit den zwei in der Grafik gezeigten Kreisen und der Anwendung der Berührbedingung kommt man bald zu einer immer noch komplizierten Funktion. Möglicherweise kann ein anderer Rechenweg (evtl. Parametrisierung oder Differentialgleichung) mehr Erfolg bringen. [attach]25753[/attach] EDIT: Nebenbei, es gibt nicht nur äussere, sondern auch innere Tangenten, dahingehend sollte die Angabe ebenfalls spezifiziert werden. mY+
06.09.2012, 18:43	MarkusW1984	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort. Für meine Problemstellung reicht eine Vereinfachung: Mir reichen die Geraden mit einer Steigung von ca. 40°... 50° (d.h. m=0,8... 1,2) Dies entspricht in meiner Skizze höchstens den mittleren drei Schnittpunkten. Ist hier Taylorentwicklung um den Punkt mit der Steigung m=1 zur Vereinfachung möglich? Ein weiterer Versuch von mir wäre folgender: Ich zeichne dieses Problem mit einem CAD Programm für die Punkte zwischen 40° und 50° (ca. 10 Punkte) und erstelle daraus ein Interpolationspolynom mittels Newtonschema... was haltet ihr davon?
06.09.2012, 19:10	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe den Graphen mittlerweile editiert ...
06.09.2012, 19:30	MarkusW1984	Auf diesen Beitrag antworten »
das sieht ja schon richtig gut aus... ich bräuchte die funktion in der form, dass ich ihr die mittelpunkte, die radien und die steigung einer geraden übergeben muss und dann den dazugehörigen schnittpunkt zurückgegeben bekomme
06.09.2012, 22:19	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie gesagt, allgemein wird das kaum zu schaffen sein. Selbst mit vorgegebenen Mittelpunktskoordinaten und Radien wird die Funktion sehr kompliziert. Der Vorgang ist eventuell programmierbar: Punkte auf der gesuchten Ortslinie: P(x; y) Kreis1: M(m1; n1); r1 Kreis2: M(m2; n2); r2 $\begin{eqnarray} \text{Tangente}_1: \ y = kx + d_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Tangente}_2: \ y = -\frac 1 k x + d_2 \end{eqnarray}$ Berührbedingungen: $\begin{eqnarray} (1) \ r_1^2(k^2 + 1) = (km_1 - n_1 + d_1)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (2) \ r_2^2(\frac 1 {k^2} + 1) = (-\frac {m_2} k - n_2 + d_2)^2 \end{eqnarray}$ d1 und d2 sind aus den o.a. Tangenten-Funktionstermen freizustellen und in die beiden Gleichungen (1) und (2) einzusetzen. (1) nach k auflösen (2 Lösungen!), k in (2) einsetzen, das ergibt den gesuchten Funktionsterm. Dieser kann ja auch nur implizit bekannt sein, denn auch damit können bestimmte Punkte und - rückwirkend - bestimmte Steigungen festgelegt werden. Meine Grafik habe ich in DERIVE wie oben beschrieben ermittelt, mit den Kreisen K1(0;0; 1), K2(4;0; 2). [attach]25759[/attach] [attach]25760[/attach] mY+
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