Konvergenzradius

02.09.2012, 15:07

goofy1

Konvergenzradius

Meine Frage:
Hallo ich habe ein problem bei einer Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty 8^n * x^{3n} \end{eqnarray*}$

Betrachte ich für den Konvergenzradius:

an = 8^n ?

Meine Ideen:
hab gepostet

02.09.2012, 15:09

Che Netzer

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RE: Konvergenzradius
Hallo,

ja, das ist so richtig. Du könntest auch noch $\begin{eqnarray*} y=x^3 \end{eqnarray*}$ substituieren, um eine ganz normale Potenzreihe zu erhalten.

Alternativ könntest du $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ nur für durch Drei teilbare $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ungleich Null setzen.

mfg,
Ché Netzer

02.09.2012, 15:20

Goofy1

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Ich hab cauchy hadamard eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} ( |\sqrt{8^n} |)^{-1} = \frac{1}{8} \end{eqnarray*}$

Ist es so richtig?

02.09.2012, 15:37

Che Netzer

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Ja, das Ergebnis; links müsste es die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -te Wurzel sein.
Und eigentlich müssten die Betragsstriche unter die Wurzel und es ist im allgemeinen keine Gleichheit, sondern nur Konvergenz, das ist hier aber egal.
Und was machst du mit diesem $\begin{eqnarray*} \tfrac18 \end{eqnarray*}$ jetzt?

02.09.2012, 15:39

Goofy1

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Das ist doch der Konvergenzradius oder?

02.09.2012, 15:42

Che Netzer

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Der Konvergenzradius für welche Reihe?
Welche Bedingung an $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ wird damit für die Konvergenz der Reihe gestellt?

02.09.2012, 15:48

Goofy1

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Ehrlich gesagt weiss ich nicht was für eine bedingung gestellt wird .

Man hat ja fürs an = 8^n genommen.

Meinst du diese Bedingung:

an *( x-x0)^n ?

02.09.2012, 15:49

Che Netzer

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Zitat:

Original von Goofy1
Meinst du diese Bedingung:

an *( x-x0)^n ?

Das ist keine Bedingung, das ist ein Term. Bzw. ein Summand in der Reihe.

Für gewöhnlich hat man ja $\begin{eqnarray*} \lvert x-x_0\rvert<R \end{eqnarray*}$ als Konvergenzbedingung. (mit Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ )
Wie ist es jetzt in diesem Fall?

02.09.2012, 15:57

Goofy1

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Dann müsste das gelten oder :

|x-x0| < 1/8

02.09.2012, 16:07

Che Netzer

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Eben nicht Augenzwinkern

Wir haben ja ein $\begin{eqnarray*} x^{3n} \end{eqnarray*}$ in der Reihe.
Erinnere dich mal an die vorgeschlagene Substitution.

02.09.2012, 16:11

Goofy1

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Oh man ich weiss nicht wie ich das genau machen soll.

Du musst mir das bitte irgendwie genauer erklären.

02.09.2012, 16:13

Che Netzer

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Wir setzen $\begin{eqnarray*} y=x^3 \end{eqnarray*}$ .
Dann wird die Reihe zu
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty8^ny^n\,. \end{eqnarray*}$
Hier können wir ganz normal den Konvergenzradius bestimmen und erhalten die Bedingung
$\begin{eqnarray*} \lvert y\rvert<\tfrac18\,, \end{eqnarray*}$
welche wir jetzt noch zu einer für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ umformen müssen.

02.09.2012, 16:19

Goofy1

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Nach meiner musterlösung soll der konvergenzradius 1/2 raus kommen , woran liegt das?

02.09.2012, 16:21

Che Netzer

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Hast du meinen letzten Beitrag gelesen?

Wie könntest du da von $\begin{eqnarray*} \lvert y\rvert<\tfrac18 \end{eqnarray*}$ wieder auf eine Bedingung für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ kommen?

02.09.2012, 16:58

Goofy1

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Einfach das y durch x ersetzen?

02.09.2012, 16:59

Che Netzer

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Nein, es ist doch $\begin{eqnarray*} y=x^3 \end{eqnarray*}$ . Das musst du auch bei der Rücksubstitution beachten.

02.09.2012, 17:23

Goofy1

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Dann könnte ich doch sagen:

|x^3| < 1/8

So in ordnung?

02.09.2012, 17:24

Che Netzer

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Ja, das stimmt. Und jetzt kannst du noch etwas umformen.

02.09.2012, 17:33

Goofy1

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Ich könnte die dritte Wurzel auf der rechten seite ziehen aber ich glaube das würde mir nicht helfen.

Was könnte ich machen?

02.09.2012, 17:34

Goofy1

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Ach ich glaub ich habs . Wenn ich die dritte WUrzel ziehe bekomme ich 1/2 raus.

Aber woran erkennt man das an der Aufgabe dass man hier substitution anwenden muss?77

Gibt es da einen trick?

02.09.2012, 17:44

Che Netzer

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Naja, die Form einer "normalen" Potenzreihe ist
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\,, \end{eqnarray*}$
hier haben wir eine $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ im Exponenten.
Das, was man über den Konvergenzradius weiß, funktioniert nur bei diesen "normalen" Potenzreihen.

Die Alternative:
Eine "normale" Potenzreihe mit
$\begin{eqnarray*} a_{3n}=8^n,\ a_{3n+1}=0,\ a_{3n+2}=0\,. \end{eqnarray*}$
Hier hat man dann
$\begin{eqnarray*} \frac1{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}}=\frac1{\lim_{n\to\infty}\sqrt[3n]{8^n}} \end{eqnarray*}$
als Konvergenzradius.

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