Schnitt zweier Basen berechnen

02.09.2012, 16:32	Lauchi	Auf diesen Beitrag antworten »
Schnitt zweier Basen berechnen Meine Frage: Liebes Matheboard, im Grunde kann ich den Schnitt zweier Basen berechnen. Mir geht es nur um einen etwas "vereinfachten" Weg. In den Aufagben, die wir in Klausuren rechnen, ist die Dimension von $\begin{eqnarray} U\cap W \end{eqnarray}$ meistens 1. Da ich das weiß, reicht es normalerweiße scharf hinzusehen und einen Vektor zu finden, der in U und in W liegt. Das klappt aber nicht immer so gut Wie bekomme ich das raus, wenn ich es mal nicht sehe? Meine Ideen: Ich schreibe meistens alle Vektoren der Basen in ein LGS und überprüfe auf lineare Abhängigkeit. Dann fällt meistens auf, dass ein paar Vektoren linear abhängig sind. Mir ist jetzt leider nicht so ganz klar, wie ich damit dann rausbekomme, welche Linearkombination in beiden Räumen liegt...
03.09.2012, 15:25	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnitt zweier Basen berechnen Seien deine Basisvektoren $\begin{eqnarray} u_1, u_2,..,u_n \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} w_1,w_2,...w_m \end{eqnarray}$ Gleichsetzen führt zu folgendem LGS $\begin{eqnarray} \left(u_1,...,u_n,-w_1,...,-w_m\right)\begin{pmatrix} \lambda_1 \\ ... \\ \lambda_n \\\mu_1 \\ ... \\ \mu_m \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray}$ Durch Umformen der Koeffizientenmatrix ergibt sich als unterste Nicht-Nullzeile (k<m) $\begin{eqnarray} 0, ... ,0 ,a_{m-k}, a_{m-k+1}, ... ,a_m \end{eqnarray}$ wegen $\begin{eqnarray} a_{m-k}\mu_{m-k}=-a_{m-k+1}\mu_{m-k+1}-...-a_{m}\mu_{m} \end{eqnarray}$ sind die Vektoren, die die Schnittmenge aufspannen $\begin{eqnarray} s_1=a_{m-k}u_{m-k+1}-a_{m-k+1}u_{m-k} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} s_2=a_{m-k}u_{m-k+2}-a_{m-k+2}u_{m-k} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ... \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} s_k=a_{m-k}u_{m}-a_{m}u_{m-k} \end{eqnarray}$ Beispiel: je 2 Basisvektoren, letzte Zeile $\begin{eqnarray} 0,0,2,3 \end{eqnarray}$ Richtungsvektor Schnittgerade $\begin{eqnarray} s_1=2u_2-3u_1 \end{eqnarray}$ Es ist das gleiche Verfahren wie bei der Schnittgeradenbestimmung zweier Ebenen in Parameterform.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »