Konvergenzradius2

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02.09.2012, 17:57	Goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzradius2 Meine Frage: Hallo leut muss wieder bei einer Aufgabe den Konvergenzradius berechnen: Die Aufgabe und meinen Ansatzt poste ich: Ich hab das Quotientenkriterium angewendet, bin mir nicht sicher ob ich richtig rechne . $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n!)}<br /> <br /> an= \frac{1}{(2n)!} = \frac{1}{(2n)!} \frac{2(n+1)!}{1} = (2n+1) \end{eqnarray}$ Ist es soweit richtig? Meine Ideen: gepostet
02.09.2012, 21:57	Goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir jemand helfen?
02.09.2012, 22:01	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Zuerst einmal: Soll es im Nenner $\begin{eqnarray} (2n)! \end{eqnarray}$ heißen oder $\begin{eqnarray} 2\cdot (n!) \end{eqnarray}$ ? Ich vermute ersteres, aber deine Rechnung ist in beiden Fällen falsch. Besonders das zweite Gleichheitszeichen ist formell falsch. Das Quotientenkriterium ist aber schonmal eine gute Idee. Mit $\begin{eqnarray} a_n=\frac1{(2n)!} \end{eqnarray}$ , was ist dann $\begin{eqnarray} \frac{a_n}{a_{n+1}}\,? \end{eqnarray}$ Beachte, dass du Faktoren nicht einfach aus einer Fakultät herausziehen kannst, sonst wäre ja $\begin{eqnarray} n!=n\cdot(1!) \end{eqnarray}$ .
02.09.2012, 22:05	Goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
Das erste ist richtig Chenetzer. Was habe ich den falsch gemacht beim fakultäten kürzen?
02.09.2012, 22:08	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Gute Frage. Ich kann deine Rechnung leider nicht ganz nachvollziehen, aber es sieht so aus, als hättest du $\begin{eqnarray} (2(n+1))!=2(n+1)! \end{eqnarray}$ gerechnet und dann $\begin{eqnarray} \frac{2(n!)}{(2n!)}=2 \end{eqnarray}$ oder so. Schreibe lieber $\begin{eqnarray} 2(n+1) \end{eqnarray}$ in der Fakultät richtig aus und kürze dann ähnlich wie $\begin{eqnarray} \frac{(k+1)!}{k!}=k+1 \end{eqnarray}$ .
02.09.2012, 22:18	Goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie schreibe ich denn das 2*(n+1)! anders? Ich hab leider bisschen mit fakultäten so meine probleme.
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02.09.2012, 22:20	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist ja eben nicht $\begin{eqnarray} 2\cdot(n+1)! \end{eqnarray}$ , sondern $\begin{eqnarray} (2(n+1))! \end{eqnarray}$ . Löse erst einmal das $\begin{eqnarray} 2(n+1) \end{eqnarray}$ in der Fakultät auf.
02.09.2012, 22:26	Goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso ja: ( 2n+2)! Wie gehe ich jetzt weiter vor?
02.09.2012, 22:32	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt hast du ja den Bruch $\begin{eqnarray} \frac{(2n+2)!}{(2n)!}\,. \end{eqnarray}$ Aus der Fakultät im Zähler kannst du jetzt die letzten beiden Faktoren abspalten.
02.09.2012, 22:37	Goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich die Fakultäten kürze : ( n +1 ) * (n+2 ) übrig bleiben oder?
02.09.2012, 22:39	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht ganz, da fehlt noch jeweils ein Vorfaktor. Wir haben ja $\begin{eqnarray} \frac{(2n+2)!}{(2n)!} \end{eqnarray}$ , nicht $\begin{eqnarray} \frac{(n+2)!}{n!} \end{eqnarray}$ .
02.09.2012, 22:43	Goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
2n( n +1 ) (n+2 ) So?
02.09.2012, 22:44	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das auch nicht. Dann versuche mal, die letzten beiden Faktoren in $\begin{eqnarray} (2n+2)! \end{eqnarray}$ abzutrennen. Das sieht dem, was du gerade geschrieben hast, schon recht ähnlich.
02.09.2012, 22:47	Goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
(2n+2)! = 1+2+3 ......... 2n* (n+1)*(n+2) Ist es so richtig anders geschrieben.
02.09.2012, 22:48	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Ich schätze mal, die + anfangs waren Tippfehler. Aber kommt nach $\begin{eqnarray} 2n \end{eqnarray}$ tatsächlich die Zahl $\begin{eqnarray} n+1 \end{eqnarray}$ ?
02.09.2012, 22:51	Goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh man wie ist es denn richtig?
02.09.2012, 22:56	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Das verrate ich nicht Wie zählst du denn von $\begin{eqnarray} 2n \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} 2n+2 \end{eqnarray}$ ? Bis $\begin{eqnarray} 2n \end{eqnarray}$ und bis auf das mit dem + war deine Schreibweise ja richtig, nur die letzten beiden Faktoren musst du nochmal überprüfen.
02.09.2012, 23:01	Goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
(2n+2)! = 1+2+3 ......... n2n (n+1)*(n+2) Ist es so jetzt richtig?
02.09.2012, 23:03	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein Ich sagte dich, bis zur $\begin{eqnarray} 2n \end{eqnarray}$ ist alles richtig. Nochmal: Wir sind jetzt bei der natürlichen Zahl $\begin{eqnarray} 2n \end{eqnarray}$ . Jetzt zählen wir von da aus weiter. Welche beiden natürlichen Zahlen folgen denn auf $\begin{eqnarray} 2n \end{eqnarray}$ ?
02.09.2012, 23:09	Goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
(2n+2)! = 1+2+3 ......... 2n (2n+1)*(2n+2) Wenn das nicht stimmt weiss ich auch nicht.
02.09.2012, 23:11	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, bis auf die $\begin{eqnarray} + \end{eqnarray}$ -Zeichen am Anfang stimmt das. Und das meiste davon kannst du mit $\begin{eqnarray} (2n)! \end{eqnarray}$ kürzen. Nämlich alles bis auf welche Faktoren?
02.09.2012, 23:14	Goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann bleibt also nur noch (2n+1)*(2n+2) stehen. Richtig?
02.09.2012, 23:17	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Also $\begin{eqnarray} \frac{a_n}{a_{n+1}}=(2n+1)(2n+2) \end{eqnarray}$ . Gegen welchen Konvergenzradius konvergiert das nun?
02.09.2012, 23:22	Goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
Müsste unendlich sein oder?
02.09.2012, 23:25	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Und daher spielt es auch keine Rolle, dass $\begin{eqnarray} x^{2n} \end{eqnarray}$ in der Reihe stand, da $\begin{eqnarray} \lvert x^2\rvert<\infty \end{eqnarray}$ ja äquivalent zu $\begin{eqnarray} \lvert x\rvert<\infty \end{eqnarray}$ ist. Man hätte übrigens auch die Abschätzung $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{(2n)!}\leq\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{n!}=\mathrm e^{x^2} \end{eqnarray}$ machen können...
02.09.2012, 23:30	Goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah gut danke. Aber kannst du mir erklären wie du bei dem Abschätzungsweg auf $\begin{eqnarray} e^{x^2} \end{eqnarray}$ kommst.
02.09.2012, 23:44	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit der Definition der Exponentialfunktion.

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