Abschätzung über Lipschitzstetigkeit zeigen!

02.09.2012, 20:05	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Abschätzung über Lipschitzstetigkeit zeigen! Meine Frage: Hallo Leute, ich möchte gerne folgende Aufgabe lösen und habe auch schon einen Ansatz: Sei $\begin{eqnarray} f: \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray}$ differenzierbar und es gelt $\begin{eqnarray} \|f'(x)\| \leq M \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie dass dann: $\begin{eqnarray} \|f(x)\| \leq \|f(0)\| + M\|x\| \end{eqnarray}$ gilt. Meine Ideen: Meine Idee: Da die erste Ableitung der Funktion beschränkt ist, ist die Funktion lipschitzstetig. Das heißt es gilt: $\begin{eqnarray} \|f(x) - f(y)\| \leq L\|x-y\| \end{eqnarray}$ so hier mache ich jetzt weiter und wähle mir mal $\begin{eqnarray} y = 0 \end{eqnarray}$ dann folgt; $\begin{eqnarray} \|f(x) - f(0)\| \leq L\|x\| \end{eqnarray}$ jetzt kann ich noch L = M setzen, dann habe ich: $\begin{eqnarray} \|f(x) - f(0)\| \leq M\|x\| \end{eqnarray}$ so ich muss jetzt nur noch das f(0) auf die andere Seite bringen, aber das hängt ja noch in diesem Betrag, den könnte ich zwar mit der Dreiecksungleichung umschreiben, aber dann wird er ja größer, also: $\begin{eqnarray} \|f(x) - f(0)\| \leq \|f(x)\| - \|f(0)\| \end{eqnarray}$ das linke muss doch jetzt nicht mehr zwingend kleiner sein, als M\|x\| oder?? wie kann ich also das f(0) rüber bringen?? Danke
02.09.2012, 20:11	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gilt doch $\begin{eqnarray} \|f(x)\|-\|f(0)\| \leq \|f(x)-f(0)\| \end{eqnarray}$ und nicht andersherum. Gruß Shipwater

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »