Komplexen Term berechnen

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lisa- Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexen Term berechnen
Hallo Leute,

Ich brauche schnellstmöglich eure Hilfe bei dieser Aufgabe,


Im Folgenden gelte z= a+bi und z*= a-bi (also "z*" ist das komplex konjugierte zu "z")
Der folgende Ausdruck soll dazu berechnet werden:

|z-z*|+|z+z*| = 4 ; Gl.(1)

ersetze nun z und z* und daraus folgt:

|2bi| + |2a| = 4 ; Gl.(2)

Nun würde ich, um die Beträge der komplexen Zahlen zu nehmen,
ansetzen. Also jeweils für Imaginärteil und Realteil den Betrag ausrechnen.
Allerdings ist das nach Musterlösung falsch! Dort folgt aus Gl.(2) nämlich:

|2b| + |2a| = 4 ;Gl.(4)

Danach wird dann eine Fallunterscheidung gemacht, um die Lösung der Gleichung zu bestimmen.
Ich verstehe aber leider nicht wieso man das hier so wie in Gl.(4) macht und wie man drauf kommt. Ich bin es gewohnt, bei komplexen Zahlen immer so den Betrag zu nehmen wie in Gl.(3) beschrieben.
Wieso geht das hier nicht? Was ist falsch daran?

Für eure Hilfe wäre ich sehr dankbar.

Gruß
lisa-
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Das sind doch identische Gleichungen, nur in leicht unterschiedlicher Darstellung verwirrt
lisa- Auf diesen Beitrag antworten »

Leider nicht ganz.

Wenn ich Gl. (3) ausformuliere, erhalte ich:
a+b = 2 und wiederum daraus mein erstes z=1+i, dass die Bedingung erfüllt.

Es gibt aber insgesamt 4 Lösungen, auf die man allesamt nur kommt, wenn man nach Gl. (4) vorgeht und dort die Fallunterscheidung durchführt.
Also 1.) a>0 u. b>0, 2.) a>0 u. b<0 usw.
lisa- Auf diesen Beitrag antworten »

es fällt auf der ersten blick vllt nicht sofort auf, aber bei der gl.(2) steht noch das "i" im betrag beim |2ib|.
der sprung von dort nach gl. (4) ist für mich nicht nachvollziehbar, da ich bei komplexen zahlen den betrag immer über die wurzel ausrechne, so wie in gl. (3).
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Gehen wir einmal der Reihe nach vor:

Wir soller die komplexen Zahlen errechnen, für die gilt


Nun setzen wir ein und erhalten



Das rechnen wir aus und es bleibt übrig



Hier werden nun die Beträge von zwei komplexen Zahlen gesucht, von denen eine rein imaginär ist und die andere reell, das bedeutet, das die eine sich auf der x-Achse der komplexen Zahlenebene befindet und die andere auf der y-Achse. Nun ist der Betrag der Abstand der Zahl zum Ursprung, also ergibt sich



Da nun ist hier eine Fallunterscheidung nötig, es gibt nämlich folgende Tupel:

(a,b); (-a,b); (a,-b); (-a,-b)

Das Tupel (1,1) ist sicherlich eine Lösung., aber halt nur eine.
original Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu
Gehen wir einmal

Das Tupel (1,1) ist sicherlich eine Lösung., aber halt nur eine.


smile
........... so ist es ... und alle Lösungen liegen in der Gauss-Ebene auf den Seiten
des Quadrates mit den Ecken A(2/0),B(0/2),C(-2/0),D(0/-2) herum:





nebenbei: x und y sind rein reelle Zahlen..
und Betrag i ist ja gleich 1 also dann ->




welche Punkte z=(x/y) erfüllen wohl diese Gleichung?
(mach ne Zeichnung für das Quadrat; siehe oben)

smile
 
 
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lisa-
Leider nicht ganz.

Wenn ich Gl. (3) ausformuliere, erhalte ich:
a+b = 2


Mitnichten. Gleichung 3 ist ausformuliert exakt Gleichung 4, denn es ist (entsprechend für a)

Wie es weitergeht siehst Du dann bei den anderen Helfern.
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