Benötige Umkehrfunktion

11.07.2004, 21:52

Quen

Benötige Umkehrfunktion

Wie lauten die passenden Umkehrfunktionen dieser Gleichungen? Ich komme bei diesen beiden Aufgaben einfach nicht weiter...

3^(x-2)

$\begin{eqnarray*} x^4+1 \end{eqnarray*}$

Danke im Voraus!

11.07.2004, 21:59

Mathespezialschüler

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RE: Benötige Umkehrfunktion
Also, ich hoffe, du weißt, wie man Umkerhfunktionen bestimmt?! Du musst erstmal Funktionsgleichungen draus machen, indem du z.B. schreibst:

$\begin{eqnarray*} y = 3^{x-2} \end{eqnarray*}$

Jetzt stellst du die Gleichung nach x um!!! Ich hoffe, das kannst du (hier Logarithmus, bei der anderen 4. Wurzel) und wenn du das hast, dann vertauschst du einfach x und y und fertig. Probiers einfach mal!

edit: Du musst natürlich darauf achten, ob die Funktion auch eineindeutig ist! Ansonsten kannst du die Umkehrfunktion nur in bestimmten Intervallen bestimmen, die du vorher festlegen solltest.

11.07.2004, 21:59

therisen

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Hallo erstmal,
wo liegt denn konkret dein Problem?

$\begin{eqnarray*} y=3^{x-2} \end{eqnarray*}$
Nach x auflösen, Variablentausch, also x durch y und y durch x ersetzen (gleichzeitig Augenzwinkern

) Tip: Logarithmus Tanzen

$\begin{eqnarray*} y=x^4+1 \end{eqnarray*}$
siehe oben

Denk dran: Du kannst nur zu bijektiven Funktionen die Umkehrfunktion bilden smile

11.07.2004, 22:10

Quen

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Bei der ersten...öhm...

$\begin{eqnarray*} log3 (x+2) \end{eqnarray*}$ ?

Bei der zweiten komm ich nicht weiter...vierte Wurzel ist schon klar...aber da muß doch am Ende ein einzelnes y links stehen.

11.07.2004, 22:15

Mathespezialschüler

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Nein, die erste ist nicht richtig. Versuch erstmal die Gleichung

$\begin{eqnarray*} y = 3^{x-2} \end{eqnarray*}$

nach x umzustellen und zeige dabei alle Schritte, die du machst! Dann sagen wir dir, wo der Fehler ist. Bei der zweiten:

Stell auch hier erstmal die Gleichung

$\begin{eqnarray*} y = x^4 + 1 \end{eqnarray*}$

nach x um!

11.07.2004, 22:20

Quen

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Also...

$\begin{eqnarray*} y = 3^(x-2) \end{eqnarray*}$ Logarithmus von 3

$\begin{eqnarray*} x-2 = log3 y \end{eqnarray*}$ Umbezeichnung

$\begin{eqnarray*} y-2 = log3 x \end{eqnarray*}$ +2

$\begin{eqnarray*} y = log3 (x+2) \end{eqnarray*}$

Ich kann mit diesem Formelscript nicht umgehen.

11.07.2004, 22:23

BraiNFrosT

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wenn etwas als index geschrieben werden soll, den Unterstrich_benutzen
und wenn mehr als ein Zeichen in den Exponenten (oder den Index) soll
dann mit geschweiften Klammern {}

$\begin{eqnarray*} y=log_3(x)+2 \end{eqnarray*}$

11.07.2004, 22:24

Mathespezialschüler

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Du hast folgende Gleichung:

$\begin{eqnarray*} y-2 = log_3 x \end{eqnarray*}$

Wenn du jetzt auf beiden Seiten 2 adierst, kommt da folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} y - 2 + 2 = log_3 x + 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = log_3 x + 2 \end{eqnarray*}$

Aber

$\begin{eqnarray*} log_3 x + 2 \end{eqnarray*}$ ist nicht gleich

$\begin{eqnarray*} log_3 (x+2) \end{eqnarray*}$ !!!!!
Da besteht ein großer Unteschied! Wenn du das nicht verstehst, frag einfach nach! Und danach versuch mal die andere Gleichung!!

Solange es jeder versteht, ist es übrigens relativ egal, ob du nich mit dem Formeleditor klar kommst, Hauptsache, wir wissen, was gemeint ist.

11.07.2004, 22:33

Quen

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Verstehe. Klar, die Klammer gehörte nicht um die "2".

Also das sind die ersten Potenzfunktionen, die ich mache.

Ich lande dann irgendwann bei

y-1 = 4. Wurzel y verwirrt

11.07.2004, 22:36

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Quen

Ich lande dann irgendwann bei

y-1 = 4. Wurzel y verwirrt

Ne, das kann nicht sein, denn 1. hast du zweimal y und kein x und 2. ist die Wurzel auf der falschen Seite. Zeig mal, wie du darauf gekommen bist, also wieder deine Schritte!

11.07.2004, 22:46

Quen

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$\begin{eqnarray*} y= x^4 +1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-1= 4. Wurzel y \end{eqnarray*}$

Hatte mich vertippt beim ersten Mal...

11.07.2004, 22:50

BraiNFrosT

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[quote]Original von Quen
$\begin{eqnarray*} y= x^4 +1 \end{eqnarray*}$

Warum denn so hastig ?

Zuerst die 1 rüber

$\begin{eqnarray*} y -1= x^4 \end{eqnarray*}$

Nun die Wurzel ziehen

$\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{y-1}=x \end{eqnarray*}$

Und jetzt noch die Variablen tauschen

$\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{x-1}=y \end{eqnarray*}$

!! Definitionsbereich beachten !!

11.07.2004, 22:54

Quen

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Seltsam...die Funktion hatte ich auch erst raus...dachte, sie wäre falsch, weil die im Graphen nicht richtig ausgesehen hat. Müßt' ich wohl nochmal zeichnen.

Auf jeden Fall Danke... :]

11.07.2004, 22:54

Mathespezialschüler

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Ne so geht das nich, da hast du jetzt nen Fehler drin. Ich zeigs dir mal und du sagst dann danach, ob du es verstanden hast oder nich, ok!?

$\begin{eqnarray*} y = x^4 + 1\ \ \ \ \ \ \ \ | - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y - 1 = x^4 \end{eqnarray*}$

Jetzt die Variablen vertauschen:

$\begin{eqnarray*} x - 1 = y^4\ \ \ \ \ \ \ \ | \sqrt[4]{(\ \ )} \end{eqnarray*}$

Also 4. Wurzel ziehen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{x - 1} = y \end{eqnarray*}$

und das ist deine Umkerhzuordnung. Du musst noch ein Intervall einschränken für den Wertebereich!
Wenn du irgendetwas nicht verstanden hast, dann frag einfach nach.

edit: Ok, da war jemand schneller.

11.07.2004, 23:25

Mazze

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Da fällt mir auf das die umkehrfunktion für x = 0 nicht mehr definiert ist obwohl man der 1 genau ein UrBild zuordnen (was ja die injektion ist)
kann nämlich die 0. Hab ich da was übersehen?

(das resultiert daraus das die umkehrfunktion bereits für x < 1 nicht mehr definiert ist, was mich verwirrt ^^)

edit

Egal, is klar , das Bild von f(x) ist ja das argument von $\begin{eqnarray*} f^{-1}(x) \end{eqnarray*}$

11.07.2004, 23:38

Mathespezialschüler

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Ja gut, die Definitionsbereicheinschränkung (tolles Wort :P) hab ich jetz erstmal übersehen. Hast natürlich Recht. Aber auch den Wertebereich musst du einschränken! Für alle x>1 gibt es zwei y, denn (-3)^4 = 3^4 wobei man da streiten kann. Denn die n-te Wurzel aus einer Zahl a ist ja nach Definition diejenige nichtnegative Zahl, die mit n potenziert a ergibt. Aber bei mir war es so, dass wir erst die Umkehrzuordnung für $\begin{eqnarray*} y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gezeichnet haben und dann gesagt haben, sie nur für y>0 gilt. Deshalb hab ich diese Einschränkung gegeben und die ist ja für Umkehrfunktionen eigentlich auch sinnvoll.

Für x=0 bekomme ich

$\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{-1} \in\ \mathbb C \end{eqnarray*}$

Für y=1 kann man für die Ausgangsfunktion genau ein Urbild zuordnen, nämlich x=0. Jetzt sagst du, dass du siehst, die Umkehrfunktion sei bei x=0 nicht definiert, was auch stimmt. Ich glaub, du hast nen kleinen Denkfehler:
Das Urbild von y=1 ist x=0. Bei der Umkehrfunktion werden x- und y-Werte vertauscht!! Somit hast du dann für x=1 das Bild y=0.
Für x=0 bei der Umkehrfunktion hättest du bei vertsuchen der Werte bei der Ausgangsfunktion y=0. Das hat aber wiederum kein Urbild und somit ist die Umkehrfunktion für x=0 auch nicht definiert.

11.07.2004, 23:47

Mazze

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schau mal mein edit teil da stehts drin ; )

Zitat:

Für alle x>1 gibt es zwei y, denn (-3)^4 = 3^4

y = f(x) wenn du x > 1 wählst is -3 nicht zulässig

Übrigens für alle x mit $\begin{eqnarray*} f(x) = x^{2n} \| n \in N \end{eqnarray*}$ ausser 0 existieren zwei urbilder Augenzwinkern

12.07.2004, 00:15

Mathespezialschüler

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Die -3 war nicht für x gedacht, sondern für y! $\begin{eqnarray*} x-1=81 \end{eqnarray*}$

Wenn

$\begin{eqnarray*} y = \sqrt[4]{x-1} \end{eqnarray*}$

dann ist

$\begin{eqnarray*} y^4 = x-1 \end{eqnarray*}$

und wenn

$\begin{eqnarray*} x-1 = 81 \end{eqnarray*}$

dann gibt es zwei Bilder für y, nämlich -3 und 3. Wenn man dann einschränkt, dass nur nichtnegative Zahlen für die Wurzel zugelassen werden, dann bekommt man erst die Funktion, denn erst dann hat man nicht mehr zwei Bilder.

12.07.2004, 00:29

Mazze

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Hajo ich komm auf das y nicht klar, ich arbeite halt immer mit f(x) und nicht mit y. :P

$\begin{eqnarray*} y = \sqrt[4]{x-1} \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} y^4 = x-1 \end{eqnarray*}$

Das ist kein Äquivalenzschritt mehr, die beiden Funktionen sind zwar fast identisch aber nicht mehr äquivalent. Das wir den Definitionsbereich einschränken müssen is denk ich klar ^^, aber eine Lösung die für die zweite Gleichung gilt, seien es mehrere gelten nicht mehr zwangsläufig in der ersten da wir halt keinen Äquivalenzschritt vollzogen haben. Quadrieren und wurzel ziehen sind halt nur dann äquivalenzschritte wenn wir bestimmte gegebenheiten einschränken, das müste man bereits von gleichung eins zu zwei festhalten.

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