Extrema finden bei semidefiniter Hessematrix

03.09.2012, 13:41

gast1231

Extrema finden bei semidefiniter Hessematrix

Meine Frage:
Ich hab Probleme folgende Aufgabe zu lösen, finde die lokalen Extrema der Funktion $\begin{eqnarray*} 2x^{3} -x^{2}y+ y^{2} \end{eqnarray*}$ .

Bei Analyse im Punkt (0,0) kommt bei der Hesse-Matrix Semidefinitheit heraus.

Es muss aber ein Extrema vorliegen im Punkt (0,0), weil nach Klang der Aufgabe muss es ja mindestens 1 Extrema geben

Meine Ideen:
In der Vorlesung wurd gesagt eventuell helfen höhere Ableitung oder andere Kriterien. Nur kenne ich keine anderen Kriteren.

03.09.2012, 14:12

Mystic

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RE: Extrema finden bei semidefiniter Hessematrix
Ok, wir haben also für (0,0) prinzipiell drei Möglichkeiten... *) Der Punkt ist ein

a) Minimum
b) Maximum
c) Sattelpunkt

Betrachte nun mal die beiden Kurven $\begin{eqnarray*} C_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_2 \end{eqnarray*}$ auf der Fläche, welche definiert sind durch

$\begin{eqnarray*} x=0, y=t, z=t^2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x=t, y=0, z=2t^3 \end{eqnarray*}$

Welche Möglichkeiten kommen nach Betrachtung von $\begin{eqnarray*} C_1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} C_2 \end{eqnarray*}$ noch in Frage?

*) Hättest du auch die Art der Semidefinitheit angegeben, dann wären es nur mehr zwei gewesen...

Edit: Ich habe dabei zu Übungszwecken die Überprüfung etwas aufwändiger gestaltet, als unbedingt notwendig... Augenzwinkern

03.09.2012, 17:26

gast1231

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RE: Extrema finden bei semidefiniter Hessematrix
Ich glaube zu verstehen wie du auf die Werte von z kommst(durch einsetzen (0,t) bzw. (t,0) oder ???), aber leider verstehe ich nicht wie mir die Kurven helfen könnten.
Meinst du mit Fläche die Funktion ???

Bei x=0 , y=t, z=t², hab ich eine Parabel also Minimum bei (0,0), bei x=t, y=0, z=2t³ liegt ein Sattelpunkt vor bei (0,0), also gar kein Extrema in (0,0)??? aber ist das die richtige Folgerung ???

03.09.2012, 17:55

Mystic

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RE: Extrema finden bei semidefiniter Hessematrix

Zitat:

Original von gast1231
Ich glaube zu verstehen wie du auf die Werte von z kommst(durch einsetzen (0,t) bzw. (t,0) oder ???), aber leider verstehe ich nicht wie mir die Kurven helfen könnten.

Hm, ist dir nicht klar, dass im Falle dass (0,0) ein Maximum bzw. Minimum wäre, dann auch jede Kurve, welche auf der Fläche liegt und durch (0,0) geht, dort ein Maximum bzw. Minimum haben müsste?

Zitat:

Original von gast1231
Meinst du mit Fläche die Funktion ???

$\begin{eqnarray*} z= 2x^3-x^2y+y^2 \end{eqnarray*}$ ist doch eine Fläche, oder etwa nicht... Mann oh Mann, was sind das für seltsame Fragen? geschockt

Nimm doch einfach irgendein CAS deiner Wahl und schau dir diese Fläche mal in der Umgebung von (0,0) an, falls du das nicht schon gemacht hast...

Zitat:

Original von gast1231
Bei x=0 , y=t, z=t², hab ich eine Parabel also Minimum bei (0,0), bei x=t, y=0, z=2t³ liegt ein Sattelpunkt vor bei (0,0), also gar kein Extrema in (0,0)??? aber ist das die richtige Folgerung ???

Na klar, das ist die richtige Folgerung... Was erscheint dir daran nicht einleuchtend? verwirrt

03.09.2012, 22:33

gast1231

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Also wenn ich das in wolfram alpha eingebe, sehe ich ein Minimum im Punkt(0,0).
Das würde irgendwie dieser Folgerung widersprechen oder ?

04.09.2012, 18:48

Mystic

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Zitat:

Original von gast1231
Also wenn ich das in wolfram alpha eingebe, sehe ich ein Minimum im Punkt(0,0).
Das würde irgendwie dieser Folgerung widersprechen oder ?

Noch einmal: Geh geistig entlang der Kurve $\begin{eqnarray*} C_2 \end{eqnarray*}$ auf der Fläche durch den Punkt (0,0,0)... Für noch so kleine negative Werte von x ist dann f(x,0) stets negativ, für noch so kleine positive Werte von x ist f(x,0) stets positiv... Wie in aller Welt kann daher dort ein Minimum sein??? geschockt

04.09.2012, 19:30

gast1231

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Alles klar, danke !

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