Nachweisen, dass Abbildung keine lineare Abbildung ist

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ten9999 Auf diesen Beitrag antworten »
Nachweisen, dass Abbildung keine lineare Abbildung ist
Meine Frage:
hallo, ich habe ne frage. und zwar geht es um den nachweis einer abbildung, dass sie keine lineare abbildung ist.
hier die aufgabe:
weisen sie nach, dass die abbildung phi : R^n -> R mit phi(x) = //x//2 keine lineare abbilung ist.

das x soll ein vektor sein und die zwei schrägstriche sind die norm und die 2 steht rechts unter den normstrichen.^^



Meine Ideen:
jemand ne ahnung?
SinaniS Auf diesen Beitrag antworten »
RE: nachweisen, dass abbildung keine lineare abbildung ist
Fuer eine lineare Abbildung f gilt ja f(u+v)=f(u)+f(v). Fuer dieses phi findet man schnell ein Beispiel, wo dies nicht gilt.
 
 
Panamera_90 Auf diesen Beitrag antworten »

was ist denn hier mein u und was ist mein v?
SinaniS Auf diesen Beitrag antworten »

u und v sind erstmal beliebige Vektoren aus dem Vektorraum R^n. Man muss jetzt zwei vektoren u,v aus R^n finden mit
Panamera90 Auf diesen Beitrag antworten »

und was hat es dann mit //x//2 auf sich?
könntest du mir für diese aufgabe bitte ein beispiel geben? ich raff das irgendwie nicht unglücklich

wenn ich für u = 3 setze und für v = 2 kommt doch auf beiden seiten 5 phi raus. dann ist das doch gleich oder nicht?
SinaniS Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist richtig. Das ist kein Gegenbeispiel, hier ist tatsächlich
.
Es gibt aber Gegenbeispiele, auch für n=1. Probier nochmal ein bißchen rum.
SinaniS Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Panamera90
und was hat es dann mit //x//2 auf sich?


Das ist die 2-Norm. Für einen Vektor ist . Das findet man aber auch mit jedem Buch zu Analysis/Lineare Algebra 1 oder bei Wikipedia - oder dem Vorlesungsskript, falls vorhanden...
Panamera90 Auf diesen Beitrag antworten »

achso, das is also die "normale" norm^^
also bei mir kommt immer das selbe raus, egal welche zahlen ich nehme. ich hab das prinzip glaub nicht verstanden...
man addiert doch auf beiden seiten immer die u's und v's. da kommt doch immer das selbe raus oder nicht?!
SinaniS Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Panamera90
also bei mir kommt immer das selbe raus, egal welche zahlen ich nehme.


Was hast du denn so ausprobiert? Nur im R^1? Hast du vielleicht nur positive Zahlen eingesetzt?
Mal ein Gegenbeispiel für im R^2: Setze u=(1 0) und v=(0 1). Was sind dann
?
Panamera_90 Auf diesen Beitrag antworten »

nimmt man dann die auf der rechten seite mal?
würde links dann 1 und 1 rauskommen, da die einfach normal addiert werden und rechts 0 0?
Panamera90 Auf diesen Beitrag antworten »

wär das ein bsp für die aufgabe?
SinaniS Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst phi auf die Vektoren anwenden! Was ist denn ? Kommt da jeweils das gleiche raus?

Allgemein reicht das aber noch nicht für die Aufgabe. Das reicht nur, um zu zeigen, dass phi auf R^2 keine lineare Abbildung ist. Für den R^n im Allgemeinen muss man sich ein "allgemeines" Gegenbeispiel ausdenken, d.h. für ein festes n muss man sich zwei Vektoren u,v festlegen, so dass phi(u+v) und phi(u)+phi(v) verschieden sind.

Hast du schon ein Gegenbeispiel für n=1 gefunden?
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