Polynom in Linearfaktoren zerlegen

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03.09.2012, 16:07	Panamera90	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynom in Linearfaktoren zerlegen hi, habe nochmal ne frage. und zwar soll man das polynom p(x) = x^2 + x^6 über C in linearfaktoren zerlegen. habe meine lösungsweg angehängt, scheint aber irgendwie komisch zu sein. Stimmt da irgendwas nicht?
03.09.2012, 16:43	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynom in Linearfaktoren zerlegen Was sollte da nicht stimmen? Die Lösungen sind richtg: $\begin{eqnarray} x_{1,2}=\pm \exp \left(\frac{ \pi}{4} i \right) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_{3,4}= \pm \exp \left( \frac{3 \pi}{4} i \right) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_{5,6}=0 \end{eqnarray}$
03.09.2012, 16:47	Panamera90	Auf diesen Beitrag antworten »
keine ahnung, ich habe die lösung von der aufgabe nicht und wollte fragen, ob das stimmt^^ bin mir eig nur nich sicher wie ich die linearfaktoren dargestellt hab. das ist ja ziemlich lang. oder kann ich die noch einfacher darstellen?
03.09.2012, 17:02	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Woher kommt denn die Lösung, die du gepostet hast? $\begin{eqnarray} x^2 \cdot (x^4+1)=0 \Rightarrow x^2=0 \vee x^4=-1 \end{eqnarray}$ Wir betrachten $\begin{eqnarray} x^4=-1 \end{eqnarray}$ und substituieren $\begin{eqnarray} z=x^2 \end{eqnarray}$ , dann erhalten wir: $\begin{eqnarray} z^2=-1 \Rightarrow z= \pm i \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} x^2= \pm i \Rightarrow x= \pm \sqrt{ \pm i} \end{eqnarray}$ Nun ist $\begin{eqnarray} i= \exp \left( \frac{1}{2} \pi \right) \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \sqrt{i}= \exp \left( \frac{1}{4} \pi \right) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} -i= \exp \left( \frac{3}{2} \pi \right) \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \sqrt{-i}= \exp \left( \frac{3}{4} \pi \right) \end{eqnarray}$ . Das ergibt die Lösungen $\begin{eqnarray} x_{1,2}=\pm \exp \left( \frac{1}{4} \pi \right)= \pm \left(\frac{1}{ \sqrt{2}}+ \frac{1}{\sqrt{2}}i \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{3,4}= \pm \exp \left( \frac{3}{4} \pi \right)= \pm \left(-\frac{1}{ \sqrt{2}}+ \frac{1}{\sqrt{2}}i \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{5,6}=0 \end{eqnarray}$
03.09.2012, 17:10	Panamera90	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hab die selber gerechnet^^ meine frage war drauf auf die schreibweise der linearfaktoren bezogen.. ich hab ja am ende den endloslangen term da stehen.. x^2 * ( x - (1/wurzel2 + 1/wurzel2 i ) * (x - ........ ob ich das kürzer schreiben kann?
03.09.2012, 17:31	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso willst du die kürzer schreiben? Im Zweifel kannst du die Exponentialschreibweise verwenden..... (viel kürzer ist das aber auch nicht....) $\begin{eqnarray} x \cdot x \cdot \left(x-\left(\frac{1}{ \sqrt{2}}+ \frac{1}{\sqrt{2}}i \right) \right) \cdot \left(x+\left(\frac{1}{ \sqrt{2}}+ \frac{1}{\sqrt{2}}i \right) \right) \cdot \left( x- \left(-\frac{1}{ \sqrt{2}}+ \frac{1}{\sqrt{2}}i \right) \right) \cdot \left(x+ \left(-\frac{1}{ \sqrt{2}}+ \frac{1}{\sqrt{2}}i \right) \right)<br /> =x \cdot x \cdot \left( x-\exp \left( \frac{1}{4} \pi \right) \right) \cdot \left( x+ \exp \left( \frac{1}{4} \pi \right) \right) \cdot \left(x- \exp \left( \frac{3}{4} \pi \right) \right) \cdot \left(x+\exp \left( \frac{3}{4} \pi \right)\right) \end{eqnarray}$
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03.09.2012, 17:33	Panamera90	Auf diesen Beitrag antworten »
oha okay. is schon ziemlich lang^^
03.09.2012, 17:35	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du noch Fragen dazu?
03.09.2012, 18:34	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe die neue Frage abgetrennt, du findest sie hier: Kern einer Matrix. Neue Frage, neuer Thread..... Ich antworte da auch gleich drauf.....

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