Lösung eines Inhomogenen LGS

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03.09.2012, 17:40	LGSMathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung eines Inhomogenen LGS Meine Frage: Hallo, Mathe-Board. Da ich beim Einstieg ins Thema gefehlt habe, fällt es mir zur Zeit schwer, die Aufgaben im Unterricht zu verstehen. Es handelt sich um das Thema "Lineare Gleichungssysteme", speziell um Lösungen inhomogener LGS. Nun, nehmen wir zum Beispiel diese Aufgabe: \| x1 + x2 + x3 + 3x4 = 5 \| \| x1 + x3 + x4 = 10 \| \| 2x1 +5x3 = 0 \| So viel zur Aufgabe selber. Wäre sehr dankbar wenn ihr mir beim Verständnis solcher Aufgabe helfen könntet. MfG. Meine Ideen: Also es liegt ein einfachunterbestimmtes LGS vor, da es 3 Gleichungen sind, aber 4 Variablen. Zuerst versuche ich die Gleichung mithilfe des Gauß-Verfahrens in die Stufenform zu bringen, da in der 2. Gleichung aber kein x2 vorhanden ist, weiß ich schon hier nicht, wie ich verfahren soll. Nach Auflösen des LGS würde ich für die unterbestimmte Variable x4 den Parameter r einsetzen und nach den übrigen Variablen auflösen. Bitte helft mir, bin grade am Verzweiflen, da ich den genauen Ablauf der Rechnung nicht mitbekommen habe aufgrund von Krankheit.
03.09.2012, 18:17	redd18	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, wie du schon richtig erkannt hast, ist das System unterbestimmt. Du kannst deshalb keine eindeutigen Zahlenwerte für $\begin{eqnarray} x_1, ... , x_4 \end{eqnarray}$ ermitteln, sondern es bleibt eine Abhängiskeit zwischen den Lösungen bestehen. Soll heißen, du kannst für eine der Lösungsvariablen einen beliebigen Wert wählen und die zugehörigen restlichen $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ bestimmen. In deinem Fall liegt das System schon in einer brauchbaren Form vor, da du in Gleichung 3 nur zwei Variablen, in Gleichung 2 drei Variablen, und Gleichung 1 vier Variablen hast. Vorgehensweise: - Lege für $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x_3 \end{eqnarray}$ (weil die beiden nach Gleichung 3 direkt voneinenander abhängen) einen Wert fest. Dieser Wert ist beliebig aber konstant, daher nennen wir ihn zum Beispiel t mit $\begin{eqnarray} t\in\mathbb R. \rightarrow x_1:=5t \end{eqnarray}$ woraus offensichtlich folgt $\begin{eqnarray} x_3 = -2t \end{eqnarray}$ Entsprechend ermittelst du $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_4 \end{eqnarray}$ .
03.09.2012, 18:51	LGSMathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Klingt einleuchtend. Wenn ich für x1 = 5t setze, muss x3 zwingend -2t sein damit die Gleichung erfüllt wird. So habe ich dann die beiden anderen Gleichungen aufgelöst und habe nun ... x1 = 5t x2 = -5t x3 = -2 x4 = 7 ...herausbekommen. Ist das soweit korrekt? Ich werde eine andere Aufgabe versuchen.
03.09.2012, 18:58	LGSMathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Korrektion: x1 = 5t x2 = -5t x3 = -2t x4 = 7t Nun, grad dachte ich, dass ich es verstanden hätte und nun steh ich vor dieser Aufgabe: \| $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ + $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ + $\begin{eqnarray} x_3 \end{eqnarray}$ + $\begin{eqnarray} x_4 \end{eqnarray}$ = 0 \| \| $\begin{eqnarray} 3x_2 \end{eqnarray}$ + $\begin{eqnarray} x_3 \end{eqnarray}$ = 11 \| \| $\begin{eqnarray} 5x_1 \end{eqnarray}$ + $\begin{eqnarray} 2x_4 \end{eqnarray}$ = 17 \| Da kann ich diese Methode ja nicht anwenden, da Gleichung 2 und 3 voneinander unabhängig sind. :/
03.09.2012, 20:01	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Das LGS hat noch nicht Stufenform.
03.09.2012, 20:08	LGSMathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie soll ich auf die Stufenform kommen? die 2. und 3. Gleichung beinhaltet ja keine Variable, die in beiden auftaucht. Stehe da auf dem Schlauch.
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03.09.2012, 20:18	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
folgende Zeilenoperationen ( mit den lines L1 , L2, L3 ) helfen weiter: 1.) L3:=L3-5L1 2.) L3:=3L3+5*L2
03.09.2012, 20:26	red18	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, also - das Ergebnis zur ersten Aufgabe ist richtig - hast du ja sicher schon durch Einsetzen festgestellt. Kurzschreibweise btw.: $\begin{eqnarray} \vec x = \begin{pmatrix} 5 \\ -5 \\ -2 \\ 7\end{pmatrix}t \end{eqnarray}$ Für die andere Aufgabe musst du sehen, dass du eine Gleichung mit 3 Unbekannten erhältst. Z.B. kannst du die Gleichungen 2 und 3 addieren --> 4 Unbekannte, und dann mithilfe der ersten Gleichung (wiederum Addition) wieder eine Variable eliminieren. Gleichung 1 und eine der beiden anderen schleifst du unverändert mit...
03.09.2012, 20:45	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
könntest du bei "redd18" bleiben, dann weiss auch ich, dass du wieder onboard bist
03.09.2012, 20:54	redd18	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry, war nicht beabsichtigt. War nicht mehr eingeloggt, und hab den Nickname mit nem 'd' zu wenig eingetippt -.- Und - zack, wie aus dem Nichts - bin ich Gast
03.09.2012, 20:55	LSGMathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bleibe bei LSGMathe, red18 war ein anderer Benutzer. Danke soweit red18, ja habe es eingesetzt und die Schreibweise ist mir ebenfalls bekannt. Zu Dopap: Ich hab nachgedacht und so wie du es schilderst müsste die ursprüngliche L3 an erster Stelle stehen, oder? Quasi L1 und L3 vertauschen, zur Stufenform auflösen... Liege ich da richtig?
03.09.2012, 21:21	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube nicht. Damit das nicht in Diskussion ausartet, ist das reduzierte System nach den vorgeschlagenen Zeilenoperationen in Matrixschreibweise und ohne Brüche $\begin{eqnarray} A_e=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & 0 & 11 \\ 0 & 0 & 10 & 9 & -106 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ jetzt lässt sich am besten $\begin{eqnarray} x_4=t \end{eqnarray}$ wählen und rekursiv einsetzen.

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