Stichproben, Batterien

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03.09.2012, 20:49	camkapi1	Auf diesen Beitrag antworten »
Stichproben, Batterien Meine Frage: In einer Sendung von 80 Batterien befinden sich 10 defekte. Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält eine Stichprobe von 5 Batterien genau eine (genau 3, höchstens 4, mindestens eine) defekte Batterie? Meine Ideen: $\begin{eqnarray} \frac{10}{80} x \frac{9}{79} \end{eqnarray}$ zu nehmen, da ja nur eine Batterie von 10 defekt sein soll.... Ich bin mir da aber nicht sicher. Versteht das jemand und kann mir helfen? Bitte einen sinnvollen Titel verwenden!
03.09.2012, 21:27	hollisch	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie wird die Stichprobe gezogen? Mit oder ohne Zurücklegen?
03.09.2012, 21:29	camkapi1	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist ohne Zurücklegen, da ja Stichproben gemacht werden.
03.09.2012, 21:31	hollisch	Auf diesen Beitrag antworten »
Stichproben können auch mit Zurücklegen gemacht werden Sei $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ die Anzahl der gezogenen defekten Batterien. Wie ist denn $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ verteilt?
03.09.2012, 21:32	camkapi1	Auf diesen Beitrag antworten »
Es soll ja nur eine defekt sein also ist ist x=1 von insgesamt 5 Batterien, oder?
03.09.2012, 21:34	hollisch	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast in der Schule zwei Verteilungsarten kennen gelernt (ggf. auch mehr). Zur Auswahl stehen dir einmal die Binomialverteilung und die Hypergeometrische Verteilung
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03.09.2012, 21:36	hollisch	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei einer Batterie ist das natürlich ein bisschen einfacher^^ da ist es egal, ob man mit Zurücklegen oder ohne Zurücklegen arbeitet. Da geht deine Antwort schon in die richtige Richtung... Aber $\begin{eqnarray} p=\frac{1}{5} \end{eqnarray}$ is nicht richtig
03.09.2012, 21:36	camkapi1	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Verteilungsverfahren haben wir gar nicht gelernt. Ich höre sie zum ersten mal. Wir haben es mit den Baumdiagrammen und dem Gegenergebnis beschäftigt.
03.09.2012, 21:39	hollisch	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, dann machen wir mal das Ereignis genau eine defekte Batterie! Wie viele Batterien hast du? Und wie viele davon sind defekt?
03.09.2012, 21:40	camkapi1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe insegesamt 80 Batterien davon sind 10defekt, bei einer Stichprobe von 5 Batterien soll nur eine defekt sein.
03.09.2012, 21:44	hollisch	Auf diesen Beitrag antworten »
Habt ihr eigentlich schon Binomialkoeffizienten durchgenommen? Also z.B. n-Mal Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge $\begin{eqnarray} \binom{n}{k} \end{eqnarray}$
03.09.2012, 21:46	camkapi1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das haben wir erst vor kurzem gemacht...Kenn mich da jz nicht so gut aus.
03.09.2012, 21:49	hollisch	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst natürlich ein Baumdiagramm zeichnen und jeden Fall einzeln durchgehen: erste Zug: defekte Batterie zweiter Zug: nicht defekte Batterie ... und deren Wahrscheinlichkeiten multiplizieren. Bedenke: sowohl Zähler als auch Nennen verändern sich, da ohne Zurücklegen gezogen wird. Alternative: kürzere Lösung mittels Binomailkoeffizienten.
03.09.2012, 21:52	camkapi1	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit dem Binomailkoeffizienten geht es dann so? $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 80 \\ 10 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = 1.64x10^12
03.09.2012, 21:55	hollisch	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast!!! Das sind alle Möglichkeiten 10 Batterien aus den 80 zu ziehen. Jetzt müssen wir uns noch über die Möglichkeiten Gedanken machen, die uns interessieren. Wenn du von 10 defekten Batterien eine ziehen möchtest, wie viele Möglichkeiten gibt es eine defekte Batterie zu ziehen?
03.09.2012, 21:56	hollisch	Auf diesen Beitrag antworten »
btw.: \binom{n}{k} erleichtert dir das Erstellen des Binom-Koeff.
03.09.2012, 21:57	camkapi1	Auf diesen Beitrag antworten »
Von 10 defekten Batterien eine defekte zu ziehen ist 1, da es ja nur defekte sind.
03.09.2012, 21:59	hollisch	Auf diesen Beitrag antworten »
du hast mehr als nur eine Möglichkeit! Du ziehst zwar eine, aber du kannst wie viele verschiedene Batterien auswählen? Edit: von den defekten natürlich!
03.09.2012, 22:02	camkapi1	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei 10 defekten hab ich 10 Möglichkeiten eine defekte zu ziehen. Für die Stichprobe muss ich 5 Batterien ziehen entweder eine defekte oder keine defekte.
03.09.2012, 22:04	hollisch	Auf diesen Beitrag antworten »
genau... kommen wir jetzt zu den Möglichkeiten eine nicht defekte zu ziehen! Wir haben also 10 Möglichkeiten eine defekte zu ziehen. Wie oft ziehen wir also noch von den nicht defekten? Und wie viele nicht defekte gibt es eigentlich?
03.09.2012, 22:08	camkapi1	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir ziehen 4 von den nicht defekten und davon gibt es 70 also: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 70 \\ 4 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ =916895
03.09.2012, 22:10	hollisch	Auf diesen Beitrag antworten »
okay! Wenn ich also die 10 Möglichkeiten und die $\begin{eqnarray} \binom{70}{4} \end{eqnarray}$ Möglichkeiten kombinieren möchte, wobei mir die Reihenfolge egal ist... was muss ich dann rechnen? Wenn du das Ergebnis hast, setze das mal ins Verhältnis zu allen Möglichkeiten 10 aus 80 zu ziehen.
03.09.2012, 22:14	camkapi1	Auf diesen Beitrag antworten »
Du meinst also $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 70 \\ 4 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ x $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 80 \\ 10 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ =1,50x10^18
03.09.2012, 22:22	hollisch	Auf diesen Beitrag antworten »
nope...^^ es gibt genau $\begin{eqnarray} \binom{10}{1}\cdot \binom{70}{4} \end{eqnarray}$ Möglichkeiten 10 Batterien, von denen eine defekt ist zu ziehen. Nachvollzogen? Jetzt erinnere dich an die Definition einer Wahrscheinlichkeit, setze also das eben ermittelte Ergebnis ins VERHÄLTNIS zu den Möglichkeiten überhaupt 10 verschiedenartige Batterien zu ziehen.
03.09.2012, 22:27	camkapi1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, den Nafanf habe ich verstanden aber ich weiß nicht was du mit dem Verhältnis meinst.
03.09.2012, 22:29	hollisch	Auf diesen Beitrag antworten »
gemeint ist $\begin{eqnarray} P(X=1)=\frac{\binom{10}{1}\cdot \binom{70}{4}}{\binom{80}{10}} \end{eqnarray}$ Ins Verhältnis setzen meint etwas in den Zähler schreiben und in den Nenner das womit man es ins Verhältnis setzen möchte.
03.09.2012, 22:37	camkapi1	Auf diesen Beitrag antworten »
ok ist das ergebnis = 5,57x10^-6
03.09.2012, 22:40	Mathe-Maus	Auf diesen Beitrag antworten »
@hollisch: Deine Formel enthält einen kleinen Fehler ... @camkapi: Gemeint ist die Formel P = Anzahl günstige (gewünschte) Ergebnisse / Gesamtzahl möglicher Ergebnisse. LG Mathe-Maus
03.09.2012, 22:44	camkapi1	Auf diesen Beitrag antworten »
P(E)= Anzahl der für E günstigen Ergebnisse/ Anzahl aller möglichen Ergebnisse Laplace-Experiment Ist mein Ergebnis jz falsch? und wie kann ich es einfacher rechnen?
03.09.2012, 22:46	hollisch	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso? $\begin{eqnarray} X \sim H(n,N,M) \implies P(X=k)=\frac{\displaystyle \binom{M}{k}\cdot \binom{N-M}{n-k}}{\displaystyle \binom{N}{n}} \end{eqnarray}$ Wobei N die gesamte Anzahl der Kugeln, M die Anzahl der Kugeln mit einer bestimmten Eigenschaft und n die Stichprobenlänge bezeichnet. k ist die Anzahl der "Erfolge" Was genau ist daran jetzt falsch?
03.09.2012, 22:47	camkapi1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja diese Formel habe ich auch im Buch.
03.09.2012, 22:49	Mathe-Maus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab´s nicht nachgerechnet, aber die Formel enthält im Nenner einen Fehler. Wenn Du in 5 min noch da bist, schreib ich Dir den kleinen Trick. (Lassen wir hollisch noch ein paar Minuten, um seinen Fehler zu korrigieren.) LG Mathe-Maus
03.09.2012, 22:50	hollisch	Auf diesen Beitrag antworten »
habs selbst gesehen^^ im Nenner muss es natürlich 80 über 5 heißen!!!
03.09.2012, 22:52	hollisch	Auf diesen Beitrag antworten »
Ergo $\begin{eqnarray} P(X=1)=\frac{\displaystyle \binom{10}{1}\cdot \binom{70}{4}}{\displaystyle \binom{80}{5}}=0.3814=38.14% \end{eqnarray}$
03.09.2012, 22:56	camkapi1	Auf diesen Beitrag antworten »
ok. Dankeschön jz habe ich es verstanden, wie rechenet man das einfacher?
03.09.2012, 23:11	Mathe-Maus	Auf diesen Beitrag antworten »
@hollisch: Ja, das meinte ich .... @camkapi: Sehr gut, dass Du die beiden Formeln im Buch gefunden hast Sind ganz wichtig für weitere Stochastikaufgaben ! Jetzt zu einem kleinen Trick (siehe auch Lottomodell, Ziehen ohne Zurücklegen, ohne Beachtung der Reihenfolge, Formel hypergeometrische Verteilung ). ----------------------------------------- Zu Deiner Aufgabe: 80 Batterien, 10 defekte darunter, 5x Ziehen ohne Zurücklegen Gesucht Wahrscheinlichkeit, dass 3 defekte darunter sind. Links lege die 10 defekten, rechts die 70 guten Von links nimm 3 defekte -> (10 über 3) -> ergibt Anzahl der Möglichkeiten, aus den 10 defekten 3 auszuwählen. Von rechts nimm 2 gute -> (70 über 2) (Unsere Stichprobe: 5 Stück ist also komplett.) Anzahl gewünschter Ergebnisse (Möglichkeiten): (10 über 3) * (70 über 2) (Das ist der Zähler.) Gesamtmöglichkeiten: Aus allen Batterien nimm 5 (Deine Stichprobe), also (80 über 5) (Das ist der Nenner.) Und nun P ausrechnen. Das wars. ----------------------------------- Funktioniert übrigens auch mit mehr als zwei Sorten, z.B. mit Kugeln in mehreren Farben. Häufchen machen und die gewünschte Anzahl entnehmen. Funktioniert nicht, wenn Reihenfolge zwingend notwendig ist oder beim Ziehen mit Zurücklegen. -------------------------------------------------- LG Mathe-Maus

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