Surjektivität beweisen - Seite 2 |
09.09.2012, 18:21 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Aus Gleichungen wie folgert man ja und dann kann man sich zwei verschiedene Zahlen nehmen, die denselben Abstand zur Zwei haben. |
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09.09.2012, 18:29 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Aber man muss immer noch überlegen welche da passen. 0 und 4 passen, aber das ist nicht sofort ersichtlich und scheinbar auch nicht auszurechnen. Und einen Beweis aufstellen der scheitert, wenn sie nicht injektiv ist und glückt, wenn doch, gibt es scheinbar nicht. |
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09.09.2012, 18:33 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Naja, wenn du zwei Zahlen suchst, die beide denselben Abstand zur Zwei haben, dann kannst du für beliebige wählen.
?? Wenn man Injektivität beweisen will, dann dürfte das gelingen, wenn die Funktion injektiv ist und sonst nicht. |
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09.09.2012, 18:55 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Und genau um eine solche Methode geht's mir. Das wäre unleugbar komfortabel. Und ja, 2 +- a. Und dann? Wie kommst du damit schnell auf 0 und 4? Ich versteh's noch nicht. Aber um das nochmal zu hinterfragen: mit 0 = 0 habe ich nicht bewiesen, dass die Funktion injektiv ist, aber auch nicht, dass sie nicht injektiv ist, ja? Bei dieser Funktion beweise ich ja ganz einfach, dass sie injektiv ist: Z -> Z, f(x) = x + 4 Beh. f ist injektiv Bew. x, y element von Z, x != y, f(x) = f(y) Daraus folgt: x + 4 = y + 4 | -4 x = y im Widerspruch zu x != y und damit injektiv. Wieso geht der Gegenteilige Ausschluss mit dieser Methode nicht? Also wieso kann ich mit diesem Beweis nicht beweisen, dass (x - 2)^2 _nicht_ injektiv ist? Und gibt es überhaupt einen Beweis (außer dem "raten" der Zahlen), dass diese Funktion eben _nicht_ injektiv ist? |
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09.09.2012, 18:59 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Was für eine Methode?
Indem du beispielsweise wählst.
Genau, damit hast du gar nichts bewiesen.
Hier hast du gezeigt, dass äquivalent zu ist, vorhin nur .
Zwei solche Zahlen zu finden wäre das sinnvollste. Und um die zu finden, kann man ja wie gesagt annehmen, etwas umstellen und dann vielleicht leichter erkennen, welche man wählen könnte. |
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09.09.2012, 19:02 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Also: f(x) = (x - 2)^2 <-> x^2 - 4x + 4 Es sei x,y Element von Z: f(x) = f(y) x^2 - 4x + 4 = y^2 - 4y + 4 | -4 x^2 - 4x = y^2 + 4y Wie würdest du nun weitermachen? Oder missverstehe ich dich? |
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09.09.2012, 19:48 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Wenn du mit <-> nicht gerade ein Gleichheitszeichen meinst, ist das hier fehl am Platz. Umformen sollst du da auch gar nicht, sondern einfach die Wurzel ziehen. |
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09.09.2012, 21:50 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Okay, dann bekomme ich aber auf sowas: f: Z -> Z x, y Element von Z f(x) = (x - 2)^2 f(y) = (y - 2)^2 f(x) = f(y) (x - 2)^2 = (y - 2)^2 |sqrt |x - 2| = |y - 2| | + 2 |x| = |y| |
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09.09.2012, 21:55 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Sieh dir nochmal an, wie man mit Beträgen rechnet. Ist denn ? |
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09.09.2012, 21:57 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Nein 2. Gut, also bleibe ich bei dem Schritt |x - 2| = |y - 2|, das meinst du doch, oder? |
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09.09.2012, 22:06 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Genau. Das bedeutet, damit , muss sein. Wenn man also findet, die diese Gleichung erfüllen, ist die Funktion nicht injektiv. |
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09.09.2012, 22:11 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Gut, aber das ist ja nun wieder trotz allem mehr oder minder raten. Oder gibt es dazu auch einen rechnerischen Weg? |
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09.09.2012, 22:12 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Eine Wurzel zu ziehen klingt mir nicht sonderlich nach Raten. |
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09.09.2012, 22:17 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Hast mich wohl scheinbar falsch verstanden. Ich meine ein x und ein y zu finden, welche die Gleichung erfüllen (|x - 2| = |y - 2|) aber trotzdem unterschiedlich sind (also x != y gilt). Das ist imo bisher nur "raten" bzw. gucken was passt, was ich beides jetzt mal in einem Topf werfe. Aber gibt es für das finden der unterschiedlichen x und y Werte, die diese Gleichung erfüllen, evtl. eine Rechnung/einen Weg, einen anderen, als try and error? |
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09.09.2012, 22:32 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Naja, man wählt sich eine beliebige Zahl und setzt und . |
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09.09.2012, 22:38 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ok, aber das ist genau das was ich meine: Nun darf ich klug raten, für welches a das hinkommt. Ich kann ja beliebige a's != 0 einsetzen, z.B. auch a = 4 wählen. Da kommt dann das raus: (1) Nach x und y umstellen: a - 2 = x -a - 2 = y mit a = 4: 4 - 2 = x = 2 -4 - 2 = y = -6 Einsetzen: f(x) = (x - 2)^2 f(2) = (2 - 2)^2 = 0 f(-6) = (-6 - 2)^2 = (-8)^2 = 64 Schlägt also fail -> goto (1) |
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09.09.2012, 22:43 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Für alle ungleich Null. Allzu viel Raten steckt nun nicht mehr dahinter.
Wie stellst du denn nach um? |
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09.09.2012, 22:45 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ok, ich steh auf dem Schlauch, hilf mir mal: wieso kann ich a = x - 2 nicht nach x umstellen? |
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09.09.2012, 22:49 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Bitte sag mir nicht, dass du aus ernsthaft machen würdest. |
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09.09.2012, 22:51 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ich bin die totale null in sowas... -.- Aber ich will mich ja gerade bessern und daher steh ich dazu, daher: doch, würde ich. |
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09.09.2012, 22:57 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Na gut; aber wenn ich das jetzt nicht vernünftig erklären kann, solltest du dich wohl an den Schulbereich wenden. Wenn also ist, dann heißt das ja, dass so groß ist wie um Zwei verringert. Anders ausgedrückt: ist um Zwei kleiner als . Das wiederum bedeutet, dass um Zwei größer als ist, d.h. ist so groß wie um Zwei erhöht, also . Und mathematisch ausgedrückt addieren wir Zwei auf beide Seiten der Gleichung . |
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09.09.2012, 23:06 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ach du große Güte Das tut mir leid, da war ich nachlässig. Natürlich wird aus: a = x - 2 a + 2 = x Meine Schuld, hoffentlich hab' ich dir keinen zu großen Schock verpasst.^^ Also nochmal für a = 4 4 + 2 = x = 6 -4 + 2 = y = -2 f(6) = (6 - 2)^2 = 4^2 = 16 f(-2) = (-2 - 2)^2 = (-4)^2 = 16 Also für 6 und -2 ist es korrekt. Für a = 8 mal probieren: 8 + 2 = x = 10 -8 + 2 = y = -6 f(10) = 12^2 = 144 f(-6) = (-6 - 2)^2 = (-8)^2 = 64 Gilt nicht. Lieg ich nun schon einmal richtig? |
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09.09.2012, 23:07 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
? |
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10.09.2012, 00:22 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
... Ich bin zu müde heute... 8 natürlich. Dann geht's auch wieder auf. Wie darf ich das denn nun verstehen?! Ist das die Rätsels Lösung? |
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10.09.2012, 00:26 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Wie darfst du was verstehen? Die genannte Methode, zwei beliebige Zahlen zu finden, die die Injektivität widerlegen funktioniert jedenfalls, wenn du das meinst. Allgemein kannst du immer den Ansatz versuchen und daraus dann etwas gezielter "raten". |
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10.09.2012, 00:30 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Nun aber scheinbar gelingt mir bei diesem Ansatz für beinahe jede Zahl einen Treffer zu finden. Das verwirrt mich etwas. Aber ich danke dir und euch allen bisher sehr, ihr habt mir das Thema _wesentlich_ verständlicher gemacht. Ich werde direkt noch einige Übungsaufgaben machen. |
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10.09.2012, 00:38 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
bei dieser speziellen Funktion klappt das auch für fast alle Werte: Zu den meisten -Werten findet man hier einen, bei dem der Funktionswert auf derselben Höhe ist (nur halt nicht zu , d.h. ). |
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10.09.2012, 01:11 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Spannende Aufgabe wäre mal: Z -> Z x Z, h(x) = ((x - 2)^2, x^2) Ist h injektiv oder nicht? Spontan würde ich ja sagen: Wegen Quadrat nein. Wenn ich das wie eben beweisen sollte, ob oder ob nicht würde ich ja wieder h(x) = h(y) machen. Es sei x, y Element von Z. Daraus folgt: ((x - 2)^2, x^2) = ((y - 2)^2, y^2) I: (x - 2)^2 = (y - 2)^2 Die hatten wir ja eben. a = x - 2 -a = y - 2 für a = 2: 2 = x - 2 <-> x = 4 -2 = y - 2 <-> y = 0 Einsetzen: (4 - 2)^2 = 4 (0 - 2)^2 = 4 Fertig. II: x^2 = y^2 | sqrt |x| = |y| So, aber was nun? Einsetzen für beide mal: +y -> y^2 = y^2 |sqrt |y| = |y| sieht aus als wären sie identisch, aber wegen des Absolut bin ich mir da nicht sicher. -y -> -y^2 = y^2 | sqrt |-y| = |y|. Sieht auch gleich aus. Also ich bin da irgendwie noch immer etwas unsicher. Nachdem ich in der Lösung geguckt habe, und erfahren habe, dass sie injektiv ist, ist das ganze ja gar kein Problem mehr. Aus beiden Tupel Elementen die Funktion für sich aufstellen, I - II und dann auflösen und in I oder II wieder einsetzen. Fertig. Aber halt der Weg dahin zu sagen _dass_ sie eben injektiv ist, bereitet mir Probleme. Wenn ich sehe, dass ne Funktion quadratisch ist, denkt man doch erstmal, sie wäre nicht injektiv. |
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10.09.2012, 01:18 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Das mit dem Einsetzen funktioniert so nicht ganz; damit kann man immer auf eine wahre Aussage kommen. Du erhältst aber aus , dass und Daraus kannst du jetzt geschickt folgern, dass . |
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10.09.2012, 01:22 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ok, wie ich darauf komme weiß ich (also auf |x - 2| = |y - 2| und |x| = |y|) Aber inwiefern geschickt folgern komm ich noch nicht mit. Ich würde es verstehen wegen |x| = |y| aber Absolut Werte sind ja (ohne einzusetzen) nicht vertrauenswürdig wegen dem +-. Also wie schlussfolgerst du das ohne einzusetzen? |
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10.09.2012, 01:30 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Das beginnt so: Angenommen, und und . Dann muss sein und außerdem ... |
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10.09.2012, 01:45 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
y = -x? Mehr Frage als Antwort. Ist auch schon recht spät, ich werde morgen nochmal vorbeigucken. Habe auch direkt noch eine lineare Funktion wo ich einen Schubs brauche. Danke bisher! Vor allem für die viele Geduld. Muss euch ja vorkommen wie der letzte Depp. |
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10.09.2012, 01:48 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Aus folgt, dass . Der Fall ist aber durch die Annahme ausgeschlossen, also . Ähnlich geht man bei vor. Ja, ich denke, ich gehe jetzt auch ins Bett. Kann wie immer nicht garantieren, rechtzeitig für die nächste Antwort aufzustehen |
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10.09.2012, 01:53 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Müsste dann nicht aus: |x - 2| = |y - 2| durch das x != y folgen, dass x - 2 = -y - 2 ist? Und somit wieder x = -y? Naja, das als letzten Gedanken.^^ |
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10.09.2012, 10:11 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Da fehlt nur die richtige Klammersetzung. |
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10.09.2012, 10:15 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ich wüsste nicht wo da noch Klammern hingehören. Laut deinem Bsp. folgt aus |x| = |y| wegen x != y x = -y Da sind auch keine Klammern. Aber evtl. meinst du das wegen dem -2 dahinter. Also wäre es |x - 2| = -y - 2? |
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10.09.2012, 10:28 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Jetzt hast du keine Klammern gesetzt, aber den Betrag dagelassen. Es folgt . |
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10.09.2012, 10:33 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Achso, Klammerung. Oh man... Also ist: x - 2 = -(y - 2) = -y + 2 und damit ist x = -y + 4 Im anderen Fall ist, wie du ja gezeigt hast, x = -y Aber was mache ich jetzt? Also wo sehe ich nun das offensichtliche, dass x = y ist? Bzw. wie schlussfolgere ich das. |
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10.09.2012, 10:37 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Naja, du hast jetzt aus der Annahme gefolgert, dass und . Erkennst du da einen Widerspruch? Wenn nicht, dann addiere mal auf beide Gleichungen. Oder subtrahiere die Gleichungen. |
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10.09.2012, 10:39 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Den Widerspruch sehe ich: einmal ist x = -y und einmal ist es x = -y + 4 Und da ich somit nicht herausgefunden habe, dass beide x die gleichen Werte haben, habe ich bewiesen, dass es injektiv ist? Also das war es? |
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