Surjektivität beweisen - Seite 3 |
| 10.09.2012, 10:44 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| 10.09.2012, 10:52 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genial. So langsam gefällt mir das, auch wenn mir oft noch irgendwie der Durchblick fehlt. Eine Aufgabe hätte ich aber trotzdem noch: eine Z x Z -> Z Funktion mit v(x, y) = 5x - y Frage ist: ist v injektiv oder nicht? Ohne direkt eine Aussage zu machen, wollte ich das wieder mit f(x) = f(y) angehen. Also es seien (x, y), (a, b) Element von ZxZ mit (x, y) != (a, b) und v(x, y) = v(a, b) Daraus folgt: 5x - y = 5a - b Da ich nun zwei Unbekannte in einer Funktion habe, war ich schon einmal etwas aufgeschmissen. Ich hab' nun improvisiert und gesagt: stell ich erstmal nach x um und setz es ein: 5x = 5a - b + y | : 5 x = a - (b + y / 5) Einsetzen: 5 * a - (b + y ( 5) - y = 5a - b Aber ist das überhaupt der richtige Weg? Ich denke am Ende würde ich wohl wieder auf 0 = 0 stoßen. |
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| 10.09.2012, 11:11 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hier ist direktes Raten vielleicht ganz sinnvoll. Betrachte und suche andere Argumente, die auf Null abgebildet werden. Ansonsten solltest du eher so umstellen: Für und , die das erfüllen, ist . |
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| 10.09.2012, 11:33 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Raten würde ich lieber erst, wenn ich mir sicher bin, ob die Funktion injektiv ist, oder nicht. Ansonsten verbringt man soviel Zeit damit zu raten bis man evtl. einsieht, dass es nichts bringt. 5x - y = 5a - b Und nun 5 ausklammern damit es zu 5(x - y) = a - b wird? Oder wie kommst du darauf? f(x - a, y - b) = 0 dann würde ich ja eig. daraus zwei Funktionen machen: I: x - a = 0 II: y - b = 0 Oder? |
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| 10.09.2012, 11:39 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Überdenk das lieber nochmal. Ich würde hier wirklich Raten empfehlen. Suche mit . Am besten ohne große Rechnung, etwas Intuition ist auch nicht verkehrt. |
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| 10.09.2012, 11:42 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gut, nach kurzen Überlegen wären das (1, 5) -> 5 * 1 - 5 = 0 Aber wie hast du schnell erkannt, dass sie eben injektiv ist? Ohne dieses Wissen bringt es ja nichts zu raten. Sonst versucht man einige Möglichkeiten durch um dann zu sehen: ach, geht ja alles nicht, muss wohl injektiv sein. Und nachher vergisst/übersieht man eine Möglichkeit und hat eine injektivitäts Beweis obwohl sie doch nicht injektiv ist (mir z.B. passiert). |
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| 10.09.2012, 11:47 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Abbildungen von nach sind eher selten injektiv. Und Summen/Differenzen von zwei Argumenten sind auch typischerweise nicht injektiv.
Da musst du darauf achten, dass der Beweis keine Fehler enthält. Besonders Beträge solltest du dabei anscheinend sorgfältig behandeln. |
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| 10.09.2012, 12:01 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Stimmt nicht injektiv meinte ich natürlich. Bezüglich Fehler beim Beweis. Nehmen wir an wir haben diese Funktion ZxZ -> ZxZ mit f(x, y) = (x + 2, y + 2) (ist jetzt mal frei von mir erfunden) Jeder sieht das für gleiche Tupel Eingaben auch gleiche Tupelausgaben herauskommen, so für (2, 2) -> (4, 4) oder (3, 3) -> (5, 5) Aber wenn wir nun injektivität beweisen wollen: Es sei (x, y), (a, b) Element von ZxZ mit (x, y) != (a, b) und f(x, y) = f(a, b) Daraus folgt: (x + 2, y + 2) = (a + 2, b + 2) I: x + 2 = a + 2 II: y + 2 = b + 2 Nun stellt sich mir die Frage: darf ich das folgende tun, oder muss ich grundsätzlich wenn ich 2 oder mehr Funktionen habe eine von einer anderen abziehen/aufaddieren. I: x + 2 = a + 2 | - 2 <-> x = a II: y + 2 = b + 2 | - 2 <-> y = b Damit (x, y) = (a, b) und damit Widerspruch zur Annahme (x, y) != (a, b) und damit injektiv. |
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| 10.09.2012, 12:05 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das stimmt so. Einen Widerspruch brauchst du theoretisch auch gar nicht, immerhin hast du gezeigt, dass aus auch folgt. |
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| 10.09.2012, 12:06 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gut, dann habe ich gerade für eine eigentlich nicht injektive Funktion bewiesen, dass sie injektiv ist. Sehe ich das richtig? |
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| 10.09.2012, 12:07 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wieso ist denn nicht injektiv? |
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| 10.09.2012, 12:12 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ach scheiße, ich komm schon durcheinander. Da hab' ich mir wohl selbst ein Bein gestellt. 
Ich bin der festen Meinung ich hatte mal für eine eig. nicht injektive Funktion gezeigt, dass sie injektiv wäre. Ich versuch' das heut Abend nochmal. |
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| 10.09.2012, 12:16 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das glaube ich weniger... |
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| 10.09.2012, 12:17 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Man berücksichtige eventuelle (Rechen)Fehler die ich für keine hielt. 
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| 12.09.2012, 00:51 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi, ich bin's wieder. Ich hab' noch eine Frage zu der Funktion von der letzten Seite: f(x, y) = 5x - y Du meintest das wird zu: 5(x - a) = y - b Wie kommst du darauf? Müsste es nicht: 5(x - a) = 5(y - b) sein? Oder wie bekommst du die 5 auf der einen Seite der Funktion weg? Das würde mich mal anfangs interessieren. Des Weiteren: was hilft mir diese Darstellung? Das ich aus (n - 2)^2 ableiten kann, dass sie nicht injektiv ist und, darüber hinaus, dass ich nach werten suche die den selben Abstand zur 2 haben, also bspw. 1 und 3, habe ich endlich begriffen, aber was nützt mir dieses hier? |
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| 12.09.2012, 10:31 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe einfach umgestellt. Da haben und ja auch keine Fünf als Vorfaktor. Und ich persönlich fand das auch nicht allzu hilfreich, aber irgendwie immer noch besser als die anderen Optionen. Bei dieser Funktion empfehle ich wirklich raten! Das ist nichts schlimmes oder unmathematisches. Im Gegenteil, eine Nullstelle außer dieser Funktion sollte man durchaus erraten können. |
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