Bahnkurve eines Punktes

04.09.2012, 09:47

ermeglio

Bahnkurve eines Punktes

Meine Frage:
Hallo Ihr lieben!

habe eine Aufgabe und verstehe leider nicht was verlangt ist, bzw. wie und wo ich anfangen muss.

Also, hier mal die Aufgabe:

Ein Rad mir Radius r1 rolle gerade aus.

1.Beschreiben Sie die Bahnkurve eines Punktes, der auf dem Rand des Rades liegt.
2.Beschreiben Sie die Bahnkurve eines Punktes des Rades mit Abstand r2 vom Radmittelpunkt.
3.Skizzieren Sie die Bahnkurve eines Punktes auf dem Rand des Rades, eines Punktes im Inneren des Rades (r2 < r1) sowie eines Punktes auf dem Rand des Spurkranzes eines Eisenbahnrades (r2 > r1).

(Hinweis: Parameterdarstellung verwenden.)

wenn ich nun bei erster Aufgabe mal anfange: weiss meint man mit "beschreiben"? wenn ich dies schon mal wüsste könnte ich vielleicht damit etwas anfangen :-)

bin für jeden Hint dankbar!

ein lieber Gruss
ermeglio

Meine Ideen:
leider noch nicht viele :-)

04.09.2012, 10:07

original

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RE: Bahnkurve eines Punktes
verwirrt

... Vorschlag: google mal; Stichwort: Zykloide

.

04.09.2012, 13:00

Mathewolf

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Mach dir mal eine Skizze (Rad auf ebenen Untergrund). Überleg dir welche Strecke der Radmittelpunkt bei einer Umdrehung zurücklegt. Um eine geeignete Parametrisierung zu finden, führen wir noch einen Parameter für die Rotationgeschwindigkeit des Rades ein und nennen ihn f (f für Frequenz). Nun ist

$\begin{eqnarray*} f:=\frac1T \end{eqnarray*}$ , wobei T die Zeit ist, die das Rad für eine Umdrehung benötigt. Die Frequenz ist also ein Maß für die Drehgeschwindigkeit des Rades. Es gilt daher

$\begin{eqnarray*} \frac tT=\frac{\alpha}{360}\ \Leftrightarrow\ \alpha=\frac{360t}T \end{eqnarray*}$ .

In der Zeit t wird also ein Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha(t)=360ft \end{eqnarray*}$ überstrichen.

Die Strecke, die die Radnarbe in der Zeit t zurücklegt ist dann gegeben durch

$\begin{eqnarray*} x_r=2\pi r\frac {\alpha}{360} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_r(t)=\ldots \end{eqnarray*}$

Ein Punkt auf dem Rand des Kreises Oszilliert dann um den Kreismittelpunkt.

Tipp: Ein Kreis mit Radius r besitzt die Parameterdarstellung

$\begin{eqnarray*} \vec k(\alpha)=r\begin{pmatrix} \cos\alpha \\ \sin\alpha \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt solltest du alles zusammenhaben, um deine Aufgabe lösen zu können.

04.09.2012, 13:04

ermeglio

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RE: Bahnkurve eines Punktes
Hallo original,

vielen Dank , dass sieht schon mal besser aus...

durch Wikipedia weiss ich inzwischen dass es je nach r unterschiedliche Zykloide gibt, sprich eine gewöhnliche Zykloide (r = r1) eine verkürzte Zykloide (r<r1) und eine verlängerte Zykloide ( r > r1)

was ich aber immer noch nicht ganz verstehe ist, was genau verlangt wird. Bei der Aufg. 1 und 2 steht ja "Beschreiben Sie die Bahnkurve eines Punktes... "

was heisst in diesem Kontext beschreiben? soll ich etwa diese zeichnen (wie in wiki) oder doch Gleichung angeben? Hast Du eine Idee was da gesucht ist?

thanks!

04.09.2012, 14:11

Mathewolf

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Eine Kurve wird durch eine Gleichung "beschrieben". Daher ist hier das Aufstellen einer Gleichung gemeint.

05.09.2012, 11:15

ermeglio

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Hallo Mathewolf

zuerst mal vielen Dank!

ok, also ist eine Gleichung gesucht. Ich denke vielleicht könnte man nun einfach eine Gleichung der Zykloiden von Wiki anwenden, ich würde aber gerne verstehen wie man auf diese Gleichung kommt.

und genau dort happerts, ich bin eben ganz am Anfang mit solchen Aufgaben unglücklich

Könnten wir das eventuell schrittweise anpacken? ich komme bei gewissen Steps nicht ganz nach...

Ich fange mal ganz von vorne an und zeige Dir was ich bis jetzt verstanden habe (was leider nicht so viel ist )

also, ich gehe von einem Einheitskreis als Rad aus. Der Umfang ist ja beim Einheitskreis $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ .

Ich nehme nun an dass das Rad nach rechts (oder links) rollt und zwar um genau 360 Grad. Somit bewegt sich der Mittelpunkt des Kreises 2Pi vom Ursprung weg.

soweit so gut, hoffe ich zumindest. Aber wie geht es weiter?

Jetzt verstehe ich nicht ganz wie es weitergeht. wieso brauche ich die Rotationgeschwindigkeit? Die Bahnkurve ist ja bei unterschiedlicher Geschwindigkeiten die gleiche? Oder nicht? was ist der nächste Schritt?

vielen Dank im Voraus!
gruss
ermeglio

05.09.2012, 11:20

ermeglio

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Zitat:

Original von ermeglio
Der Umfang ist ja beim Einheitskreis $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ .

Ich nehme nun an dass das Rad nach rechts (oder links) rollt und zwar um genau 360 Grad. Somit bewegt sich der Mittelpunkt des Kreises 2Pi vom Ursprung weg.

bzw. viel allgemeiner:

der Mittelpunkt des Kreises beegt sich $\begin{eqnarray*} 2\pi r \end{eqnarray*}$ vom Ursprung weg.[/quote]

05.09.2012, 11:50

ermeglio

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Hallo Mathewolf, ich bin etwas weiter, inzwischen habe ich verstanden das der Abstand x von der Drehung abhängt, bei einer kompletter Drehung (also 360%) ist sie ja

$\begin{eqnarray*} 2\pi * r \end{eqnarray*}$

diese Abhängikeit von x mit der Drehung drücke ich durch Anwendung des Faktor Winkel/360 Grad, also ist ja x in Abhängikeit vom Winkel der Drehung:

$\begin{eqnarray*} x=2\pi r\frac {\alpha}{360} \end{eqnarray*}$

bis jetzt richtig? und vorallem wie weiter?

gruss
ermeglio

08.09.2012, 22:24

ermeglio

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RE: Bahnkurve eines Punktes
Hallo original, Mathewolf scheint nicht mehr zu antworten... kannst Du mir ev. weiterhelfen? unglücklich

danke im Voraus!
gruss
ermeglio

08.09.2012, 23:39

zyko

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RE: Bahnkurve eines Punktes
Hallo ermeglio,

um die Bahnkuve deines Punktes zu beschreiben, wählst du als Erstes ein geeignetes Koordinatensystem.
Z.B. Nullpunkt des Koordinatensystems ist der Berührungspunkt des Rades im Anfangszustand. Die x-Achse liegt auf der Straßenoberfläche und die y-Achse zeigt senkrecht nach oben.
Jetzt kannst du in Abhängigkeit vom Drehwinkel ( $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ) des Rades die Koordinaten der Radachse ( $\begin{eqnarray*} x_A(\alpha), y_A(\alpha) \end{eqnarray*}$ ) angeben.
Um den Ort deines beliebigen Punktes auf dem Rad zu beschreiben, definierst du ein zweites lokales Koordinatensystem, dessen Nullpunkt im Radzentrum liegt und dessen Achsen parallel zum ersten Koordinatensystem liegen.
Jetzt bestimmt du die Bahnkurve deines Punktes innerhalb dieses lokalen sich mitbewegenden Koordinatensystems $\begin{eqnarray*} x_R(\alpha), y_R(\alpha) \end{eqnarray*}$ .
Zum Schluß musst du die beiden Koordinatenpaare nur noch addieren, um die gesuchte Bewegungskurve zu erhalten.

10.09.2012, 11:01

Mathewolf

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Hallo ermeglio,

leider war ich einige Tage nicht mehr online. Der Vollständigkeit halber möchte ich doch noch auf deine Fragen eingehen.

Die Bewegung des Punktes lässt sich, wie zyko schon gesagt hat, in eine y-Komponente und eine x-Komponente aufteilen, die wir vollkommen isoliert voneinander betrachten können. Die x-Komponente setzt dabei aus zwei unterschiedlichen Bewegungstypen zusammen -- einer geradlinig gleichförmigen (wir setzen eine konstante Drehgeschwindigkeit des Rades vorraus) und der Oszillation um die Radnarbe (hervorgerufen durch die Kreisbewegung um die Radnarbe).
Nun, die Bewegung der Radnarbe haben wir ja schon hinreichend bestimmt. Wir brauchen nur noch $\begin{eqnarray*} \alpha(t) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x_r \end{eqnarray*}$ einsetzen und erhalten

$\begin{eqnarray*} x_r(t)=2\pi rft \end{eqnarray*}$ .

Um uns etwas schreibarbeit zu ersparen, setzen wir $\begin{eqnarray*} 2\pi f=:\omega \end{eqnarray*}$ . Damit erhalten wir für die Bewegung der Radnarbe

$\begin{eqnarray*} x_r(t)=\omega rt \end{eqnarray*}$ .

Jetzt kümmern wir uns um die oszillierende Komponente.

$\begin{eqnarray*} x_o(t)=r\cos(\alpha(t))=r\cos(\omega t) \end{eqnarray*}$

Die x-Komponente ist ja die Summe aus $\begin{eqnarray*} x_r(t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_o(t) \end{eqnarray*}$

Damit ist

$\begin{eqnarray*} x(t)=\omega rt+r\cos(\omega t) \end{eqnarray*}$ .

Die y-Komponente besteht nur aus der Oszillationsbewegung des Punktes um die Radnarbe in y-Richtung. Also

$\begin{eqnarray*} y(t)=r\sin(\omega t) \end{eqnarray*}$

Für die Gesamtbewegung erhalten wir also

$\begin{eqnarray*} \vec s(t) = \begin{pmatrix}x(t) \\ y(t)\end{pmatrix} = r\begin{pmatrix} \omega t+\cos(\omega t) \\ \sin(\omega t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Oben haben wir für unsere Überlegungen den Spezialfall betrachtet, dass sich der Betrachtete Punkt auf der Lauffläche des Rades liegt. Diese Beschränkung wollen wir jetzt aufheben. Wir bekommen es jetzt mit zwei Radien zu tun, den des Rades $\begin{eqnarray*} r_r \end{eqnarray*}$ und den des betrachteten Punktes $\begin{eqnarray*} r_p \end{eqnarray*}$ . Unsere Gleichung ändert sich nun geringfügig.

$\begin{eqnarray*} \vec s(t) = \begin{pmatrix} \omega r_rt+r_p\cos(\omega t) \\ r_p\sin(\omega t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wir können jetzt r_r ausklammern und nennen $\begin{eqnarray*} \gamma:=\frac{r_p}{r_r} \end{eqnarray*}$ . Wir erhalten dann für die Zykloide folgende Darstellung:

$\begin{eqnarray*} \vec s(t) = r_r\begin{pmatrix} \omega t+\gamma\cos(\omega t) \\ \gamma\sin(\omega t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt gibt es drei Möglichkeiten:

$\begin{eqnarray*} r_p>r_r\Rightarrow\gamma>1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r_p=r_r\Rightarrow\gamma=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r_p<r_r\Rightarrow\gamma<1 \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du dir überlegen, wie sich der der Wert des Parameters $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ auf die Form der Zykloide auswirkt.

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