beschränkte Abbildung

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04.09.2012, 13:08	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
beschränkte Abbildung Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} A\colon X\to Y \end{eqnarray}$ eine lineare Abildung zwischen den beiden Banachräumen $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ . Beweise, daß wenn $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ beschränkte Teilmengen in $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ auf beschränkte Teilmengen in $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ abbildet, dann ist $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ eine beschränkte Abildung. ---- Bevor ich mich an dem Beweis versuche, müsste ich erstmal wissen, was man unter "beschränkten Teilmengen" und "beschränkten Abbildungen" versteht. Kann mir das vielleicht jemand sagen? (Den Beweis versuche ich dann.) Meine Ideen: Ich habe Folgendes gefunden: "Eine Teilmenge $\begin{eqnarray} B\subseteq Y \end{eqnarray}$ eines normierten Raums $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ heißt beschränkt, wenn es $\begin{eqnarray} r>0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A\subseteq B_r(0) \end{eqnarray}$ gibt; eine Funktion $\begin{eqnarray} f\colon M\to Y \end{eqnarray}$ heißt beschränkt, wenn ihr Bild $\begin{eqnarray} f(M) \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ beschränkt ist." Sind das die benötigten Definitionen?
04.09.2012, 13:14	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist nicht schon $\begin{eqnarray} \mathrm{id}:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \end{eqnarray}$ ein Gegenbeispiel?
04.09.2012, 13:19	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: beschränkte Abbildung Mit beschränkten Abbildungen dürften eigentlich Abbildungen $\begin{eqnarray} A\colon X\to Y \end{eqnarray}$ gemeint sein, für die es ein $\begin{eqnarray} c>0 \end{eqnarray}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray} \lVert Ax\rVert_Y\leq c\lVert x\rVert_X \end{eqnarray}$ (für alle $\begin{eqnarray} x\in X \end{eqnarray}$ ). Eine Menge $\begin{eqnarray} B\subset X \end{eqnarray}$ heißt beschränkt, wenn es ein $\begin{eqnarray} M>0 \end{eqnarray}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray} \lVert x\rVert\leq M \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\in B \end{eqnarray}$ .
04.09.2012, 13:38	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: beschränkte Abbildung Danke. Aber ich weiß gerade nicht, wie ich das jetzt beweisen kann.
04.09.2012, 13:39	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: beschränkte Abbildung Betrachte als beschränkte Menge $\begin{eqnarray} \{x\in X:\lVert x\rVert=1\} \end{eqnarray}$ .
04.09.2012, 13:53	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: beschränkte Abbildung Okay. Es ist $\begin{eqnarray} D:=\left\{x\in X : \lVert x\rVert=1\right\} \end{eqnarray}$ eine beschränkte Menge, da es für jedes $\begin{eqnarray} X\in D \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} M>0 \end{eqnarray}$ gibt, sodaß $\begin{eqnarray} \lVert x\rVert\leq M \end{eqnarray}$ , nämlich $\begin{eqnarray} M=1 \end{eqnarray}$ . Dann ist nach Voraussetzung $\begin{eqnarray} A(D)=\left\{A(x) : x\in D\right\} \end{eqnarray}$ eine beschränkte Menge in $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ , d.h. es ex. ein $\begin{eqnarray} N>0: \lVert A(x)\rVert\leq N\cdot\underbrace{\lVert x\rVert}_{=1} \end{eqnarray}$ für alle Elemente in $\begin{eqnarray} A(D) \end{eqnarray}$ . Und nun?
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04.09.2012, 13:55	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: beschränkte Abbildung Jetzt betrachte $\begin{eqnarray} \frac x{\lVert x\rVert} \end{eqnarray}$ für beliebiges $\begin{eqnarray} x\in X \end{eqnarray}$ . Dafür musst du ja jetzt auch $\begin{eqnarray} \lVert Ax\rVert \end{eqnarray}$ nach oben durch eine Konstante mal $\begin{eqnarray} \lVert x\rVert \end{eqnarray}$ abschätzen.
04.09.2012, 14:15	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: beschränkte Abbildung Okay, ich schlag mal dies vor: Jetzt nimmt man also ein beliebiges $\begin{eqnarray} x\in X \end{eqnarray}$ und bildet den normierten Vektor $\begin{eqnarray} \vec{n}=\frac{x}{\lVert x\rVert_X} \end{eqnarray}$ , sodaß dann $\begin{eqnarray} \lVert \vec{n}\rVert_X =1 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} x=\vec{n}\cdot\lVert x\rVert_X \end{eqnarray}$ , also (da $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ linear ist) $\begin{eqnarray} \lVert A(x)\rVert_Y=\lVert A(\vec{n}\cdot\lVert x\rVert_X)\rVert_Y=\lVert \lVert x\rVert_XA(\vec{n})\rVert_Y=\lVert x\rVert_X\cdot\Vert A(\vec{n})\rVert_Y \end{eqnarray}$ Und nach Obigem geht's weiter mit $\begin{eqnarray} \lVert x\rVert_X\cdot\Vert A(\vec{n})\rVert_Y\leq\lVert x\rVert_X\cdot c \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} c>0 \end{eqnarray}$ .
04.09.2012, 19:15	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: beschränkte Abbildung Ja. Und zwar für $\begin{eqnarray} c=N \end{eqnarray}$ von oben.
04.09.2012, 22:54	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: beschränkte Abbildung Danke Dir.

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